4.1.1 实数指数幂及其运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解n次方根及根式的概念．(一般) 2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点) 3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点) 4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点) 1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养． 2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养. 关于根号的故事，最有价值和意义的当属的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展． 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰． 对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海． 问题：若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？ [提示]　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±. 1．有关幂的概念 一般地，an中的a称为底数，n称为指数． 2．根式的相关概念和性质 (1)根式的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． (2)根式的性质 ①()n＝a. ②＝ 思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？ [提示]　a为正数： a为负数： 零的n次方根为零，记为＝0. 3．分数指数幂 (1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义． (2)意义 分数指数幂 正分数 指数幂 ①a＝ (a>0)， ②a＝()m＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数) 负分数 指数幂 a－s＝(as有意义且a≠0) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (3)运算法则 ①前提：s，t为任意有理数． ②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs. 思考2：如何理解分数指数幂？ [提示]　(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化； (2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算； (3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘． 4．实数指数幂 无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当n∈N*时，()n都有意义．(　　) (2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．(　　) (3)＝π－3.(　　) (4)0的任何指数幂都等于0.(　　) (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[(1)当n是偶数时，()n没有意义． (2)负数没有偶次方根． (3)∵＝|3－π|＝π－3. ∴(3)正确． (4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．] 2．下列等式成立的是(　　) A.＝·　　　　　 B.＝a－b C.a＝ D.＝－ D　[A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时等式不成立．] 3．若a＞0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为(　　) C　[当a＞0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b.] 4．若8＜x≤10，则－＝________. 2x－18　[因为8＜x≤10，则－＝x－8－(10－x)＝2x－18.] 根式的概念与性质 【例1】　(1)若x＜，则等于(　　) A．3x－1 B．1－3x C．(1－3x)2 D．非以上答案 (2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________. (3)若有意义，则实数a的取值范围是________． [思路探究]　(1)先将根式内配成完全平方的形式，再利用根式的性质化简． (2)先由平方根的定义求出a的值，再由立方根的定义求出b的值，再求和． (3)根据被开方数大于或等于0，及分母不为0求解．