第4章 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

(教师独具) [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 指数、对数的运算问题 解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N ＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算． 【例1】　(1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　) A．6　　　　　　　　 B．3 C． D． (2)已知2a＝5b＝c，＋＝1，则c＝________. (1)A　(2)10　[(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3log32＋(3log32)2＝2＋4＝6. (2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，＋＝＋＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10.] 1．指数的运算 (1)要注意化简的顺序，一般负指数先转化为正指数，根式先化为分数指数幂． (2)若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的． (3)进行指数运算时，需要注意根式的两个重要结论以及运算性质的灵活应用． 2．对数的运算 (1)要注意公式应用过程中范围的变化前后要等价． (2)要注意对数的三个运算法则及对数恒等式、换底公式的灵活应用． (3)底数相同的对数式化简时常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成同底的对数的和(差)； ②“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数． 1．计算：(1)()×()÷. (2)2log32－log3＋log38－25log53. [解]　(1)原式＝ ＝2－1×103×10＝2－1×10＝. (2)原式＝log34－log3＋log38－52log53 ＝log3－5log59 ＝log39－9＝2－9＝－7. 函数图像与性质的应用 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响． 【例2】　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(1,2] D． C　[如图所示： 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0<a<1时显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2. ∴loga2≥1，∴1<a≤2，故选C.] 1．指数函数、对数函数及幂函数性质的对比 (1)指数函数与对数函数的图像与性质都与底数a的取值密切相关，而幂函数的图像与性质与指数α密切相关．底数相同的指数函数、对数函数互为反函数，其单调性相同． (2)指数函数图像过定点(0,1)，对数函数图像过定点(1,0)，幂函数图像过定点(1,1)，并且在指数α>0时过(0,0)，(1,1)． 2．含有对数式的函数最值的求法 含有对数式的函数最值问题，首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下，利用换元法将问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题． 提醒：研究函数的性质应树立定义域优先的原则． 2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x. (1)画出函数f(x)的图像； (2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． [解]　(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x 的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示． (2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 数的大小比较问题 比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较． 【例3】　比较下列各组数的大小： (1)log0.22，log0.049； (2)a1.2，a1.3； (3)30.4,0.43，log0.43. [解]　(1)log0.049＝＝＝＝＝log0.23. ∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减， ∴log0.22＞log0.23，即log0.22＞log0.049. (2)∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当底数a＞1时，在R上是增函数；当底数0＜a＜1时，在R上是减函数， ∵1.2＜1.3，∴当a＞1时，有a1.2＜a1.3；当0＜a＜1