易错点06 求数列的通项公式-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点06 求数列的通项公式 求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练. 易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.  易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃． 易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。  等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。   题组一:公式法 已知或根据题目的条件能够推出数列为等差或等比数列，根据通项公式或进行求解. 1.（2019全国1理9）记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以，故选A． 2．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___． 【答案】1.16 2.14 【解析】1.设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以． 2.解法一 设的公差为，首项为，则， 解得，所以． 解法二 ，所以．故，故． 3．（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________. 【答案】 【解析】方程的两根为2,3，由题意得 设数列的公差为d，则故从而 所以的通项公式为． 4.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．则=_________. 【答案】 【解析】设的公差为，则=． 由已知可得 题组二:已知数列的前项和的解析式，求. 5.数列的前项和为，则_________________. 【答案】 【解析】当时， 而不适合上式，∴ 6.数列满足，则 __________. 【答案】 【解析】∵① ② ①-②得， 题组三:Sn与an的关系式法 已知数列的前项和与通项的关系式，求. 7.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和，若， 则=________. 【答案】 【解析】当时，，因为，所以=3， 当时，，即，因为，所以=2， 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以=； 8.(2014新课标1)已知数列的前n项和，，其中， 则=__________. 【答案】 【解析】由题意得，故，，. 由，得，即. 由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列， 于是． 9．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____． 【答案】-63 【解析】法1： 因为，所以当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 所以． 法2：因为，所以当时，，解得， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以． 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“依葫芦画瓢”，由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验是否适合用上面的方法求出的通项. 题组四:累加法 当数列中有，即第项与第项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 10.已知，求通项. 【答案】 【解析】 ， ， 以上各式相加得 又，所以 ，而也适合上式， 11.设数列满足，则=_______； 【答案】 【解析】 ， 以上式子相加得 又 12.（2015新课标Ⅱ）设是数列的前n项和，且，，则________． 【答案】 【解析】当时，，所以， 因为，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以． 1．在等差数列中，已知，则（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质可知，得.故选:B 2．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、成等比数列，则，即，解得， 所以，.