专题07 三角形边角关系的四种压轴题型全攻略-【B卷必考】2021-2022学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题07 三角形边角关系的四种压轴题型全攻略 【知识点梳理】 三角形内角和定理： （1）定理：三角形三个内角和等于180度 （2）直角三角形的两个锐角互余 三角形三边关系： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边） 类型一、利用三边关系求值或化简 例、若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是(　　) A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c 【答案】B 【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0， ∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B. 【变式训练1】已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】10． 【解析】因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10． 【变式训练2】小明手中有2根木棒长度分别为和，请你帮他选择第三根木棒，使其能围成一个三角形，则选择的木棒可以是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】解：设第三边长为xcm，由三角形三边关系定理可知，9-4＜x＜9+4， 即，5＜x＜13，∴x=6cm符合题意．故选：C． 【变式训练3】已知是的三边长． （1）若满足，，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形；（2） 【详解】（1）∵，∴且，∴ ，∴是等边三角形． （2）∵是的三边长 ∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0 原式=== 类型二、证明不等关系 例、已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB． 【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD， ∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，∴BD﹣BC＜AD﹣AB， 【变式训练1】如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC． 【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D， ∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC． 【变式训练2】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC． 【解答】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC． ∴把它们相加，再除以2，得PA+PB+PCABBCAC． 【变式训练3】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　 　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长， （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论． 类型三、面积问题 例、如图，在中，点将线段分成的两个部分，点将线段分成的两个部分，若的面积是，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设S△ABC=m,∵AD:BD=2:1∴S△ADC=, S△DBC=, ∵BE:CE=1:3∴S△AEC=, S△ABE=,∴S△ADE=S△ABE=×=,∴S△AEC：S△ADE=9：2, ∴, ∴S△ACF：S△ADF=9：2,而S△ADF=4∴S△ACF=×4=18，故选：B． 【变式训练1】如图，中，两点分别在，上，若，则的面积:的面积___． 【答案】 【解析】解：∵BD:AB=BE:BC=1:3，∴BD:AD=BE:EC=1:2，∴S△BDC:S△ADC=1:2，S△BDE:S△DCE=1:2， 设S△BDC=x，则S△ADC=2x，S△BED=x，∴△DBE的面积:△ADC的面积=x:2x=1:6．故答案为：1:6． 【变式训练2】如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点