专题4-3 全等三角形的性质与判定【九大题型】- 2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

专题4-3 全等三角形的性质与判定以及尺规作图与全等 知识点梳理 1 题型一 全等形和全等三角形的概念 5 题型二 全等三角形的性质 6 题型三 “边边边”（SSS）判定两个三角形全等 7 题型四 “边角边”（SAS）判定两个三角形全等 9 题型五 “角边角”（ASA）判定两个三角形全等 10 题型六 “角角边”（AAS）证全等 11 题型七 HL判定直角三角形全等* 13 题型八 添加条件使三角形全等 14 题型九 尺规作图与全等三角形判定 17 知识点梳理 一、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 二、全等三角形的性质 1．能够完全重合的两个图形称为全等图形．全等图形的形状和大小都相同． 2．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3．两个全等三角形中，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角． △ABC和△A′B′C′ 是全等的三角形，记作△ABC≌△A′B′C′． 4．全等三角形的面积相等； 5．全等三角形的对应边相等； 6．全等三角形的对应角相等． 三、全等三角形的判定 1．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”． 2．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”． 3．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”． 4．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”． 5．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”． 四、角平分线模型 一、模型介绍 （一）角平分线基本性质 M O B N A P 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （二）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． （三）解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． （四）尺规作角平分线 （五）角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例(常用二级结论) 简证： ， ∵ ∴ ∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 题型一 全等形和全等三角形的概念 【例题讲解】 1． 下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 【巩固练习】 2． 如图，与全等，可表示为________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________． 3． 下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 题型二 全等三角形的性质 【例题讲解】 4． 如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（    ）    A．3 B．7 C．8 D．以上都不对 5． 若△ABC与△BAD全等，且AB和BA是对应边，BC＝3，AC＝4，则AD的长为________． 6． 如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【巩固练习】 7． 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．    8． 边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 9． 已知，，，则 ． 10． 如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 11． 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 题型三 “边边边”（SSS）判