【B卷填空必考专题】重点题型05 反比例函数与几何综合-2022年成都中考数学AB卷必考重点题型专题

专题5 反比例函数与几何综合 1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________． 【答案】或 【分析】 首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可. 【详解】 ∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限）， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)， ∴， ①当点B在第二象限时，如图所示： ∵直线（）与双曲线交于，两点， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)， ∴， ∵AC⊥BD， ∴， 根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： ， ∴， 解得：， ∴， 根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， 解得：或2， ∴A点坐标为(，)或(，)， ②当点B在第四象限时，如图所示： ∵直线（）与双曲线交于，两点， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)， ∴， ∵AC⊥BD， ∴， 根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： ， ∴， 解得：， ∴， 根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， 解得：或2， ∴A点坐标为(，)或(，)， 综上所述，点A坐标为：(，)或(，)， 故答案为：(，)或(，). 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 2．（2018·四川成都·中考真题）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________. 【答案】 【详解】 分析：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示． 联立直线AB及双曲线解析式成方程组，， 解得：，， ∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）． ∵PQ=6， ∴OP=3，点P的坐标为（-，）． 根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′， ∴点P′的坐标为（-+2，+2）． 又∵点P′在双曲线y=上， ∴（-+2）•（+2）=k， 解得：k=． 故答案为． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键． 3．（2021·成都天府新区·中考二模）有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______． 【答案】 【分析】 作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算即可． 【详解】 解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 的纵坐标为，即， ，，， ， 点、在在函数的图象上， ， 解得：（舍去），， ， 故答案为． 【点睛】 本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出、的坐标是解题的关键． 4．（2022·成都七中育才九年级期末）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，交反比例的图象于C，D两点，且，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，，，若边OF交反比例函数图象于点G，，则k值为______，点E的坐标是______． 【答案】8 【分析】 根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出A(0，5),B(10，0)；设点 C的坐标为（