【B卷填空必考专题】重点题型04 概率问题-2022年成都中考数学AB卷必考重点题型专题

专题4 概率问题 题型一：图形概率 1．（2021·四川成都·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________． 【答案】 【分析】 先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】 解：画树状图如下： 所以一共有种等可能的结果， 又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为： ＜恒成立，为正整数， 满足条件的有：共种情况， 所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为： 【点睛】 本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键． 2．（2018·四川成都·中考真题）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________. 【答案】 【详解】 分析：设勾为2k，则股为3k，弦为k，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率． 详解：设勾为2k，则股为3k，弦为k， ∴大正方形面积S=k×k=13k2， 中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k2， 故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2 ∴针尖落在阴影区域的概率为:． 故答案为． 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 3．（2021·四川成都·中考一模）数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】 用阴影部分圆环的面积除以大⊙O的面积即可． 【详解】 解：设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为， 则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为＝． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出大⊙O的半径并表示出正六边形的边长及小⊙O的半径，求出对应图形的面积． 4．（2020·成都市七中育才中考二模）为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为______． 【答案】 【分析】 连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和△ACO的面积，然后可求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可． 【详解】 解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E． ∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝． ∴AE＝ABsin60°＝×＝6． ∴AC=2 AE =12． ∴＝BD•AC＝24． ∴． 由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°， ∴OC＝AC＝×12＝6． ∴△AOC的面积＝OC•OA＝36． ∴ ＝， ． ∴命中阴影部分的概率． 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键． 5．（2020·四川成都·中考二模）如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，如果等边△ABC内每一点被取到的可能性都相同，则△CBD是钝角三角形的概率是______． 【答案】 【分析】 由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：如图，取BC的中点O，以O为圆心，BC为直径画半圆，交AB于E，连接OE， 当D在半圆上时，∠BDC＝90°， ∵△CBD是钝角三角形时，只能∠BDC＞90°， ∴点D落在如图所示的半圆O内时，△CBD是钝角三角形， 设等边三角形的边长为2a， 半圆的面积为， 等边△ABC的面积是＝a2， ∴满足∠BDC＞90°的概率是＝， ∴△CBD是钝角三角形的