11.2 正弦定理（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.2 正弦定理 课标要求 学习目标 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理 1.了解和掌握正弦定理及其应用； 2.能够利用正弦定理判断三角形的个数； 3.掌握三角形的面积公式。 知识精讲 一、正弦定理 1.正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即 2.正弦定理的变形 ①，，； ②。 ③ (其中R为△ABC外接圆的半径)，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。 【练一练】在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且， （1）求角A. （2）求△的面积. 二、正弦定理的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： 1.已知两角和任一边，解三角形：根据三角形内角和定理把另外一个角求出，然后再根据正弦定理求其他两边。 2.已知两边和其中一边的对角，解三角形：根据正弦定理求另一边的对角，进而可求其他的边和角。 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论。 已知a，b和A时，三角形解的情况如下： A是锐角 A是直角或钝角 a≥b a<b a>b a≤b a>bsinA a=bsin A a<bsinA 一解 两解 一解 无解 一解 无解 【拓展1】三角形解的个数的判定 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定。不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解。若a<b，则A<B，由正弦定理得 : ①sinB>1，即a<bsin A，无解； ②sinB=1，即a=bsin A，一解； ③sinB<1，即bsin A<a<b，两解。 【拓展2】三角形面积公式 ①（是的三个内角A、B、C所对的边。） ②（分别为三角形的边上的高。） ③。 ④（为三角形内切圆半径）。 【练一练】如图所示，在一岸边选定两点，，望对岸标记物，测得，，. （1）求边的长？ （2）求△ABC的面积？ 重点探究 一、利用正余弦定理解三角形 利用正余弦定理解三角形时应根据题目中所给的条件合理选取定理，一般按照以下解题思路： (1)已知两角和一边(如A，B，c)，由A+B+C=求C，由正弦定理求a，b； (2)已知两边和夹角(如a，b，C)，应用余弦定理求c边，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角； (3)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)，应用正弦定理求B，由A+B+C=，求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； (4)已知三边a，b，c，应用余弦定理求A，B，再由A+B+C=，求解C。 此外，解题过程中，应根据条件判断角的范围，以防多解。 二、正余弦定理的综合应用 正余弦定理的综合应用主要体现在实现边角互化.解答此类问题的一般思路是如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理.通过转化可以与三角恒等变换等知识结合起来，达到解题目的。 三、三角形的面积问题 在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积的情况，一般联想到用公式解决。 【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角B的平分线交AC于点D，. （1）求角B的大小； （2）证明：. 【例2】已知在△ABC中，三个内角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）若点为上一点，满足，且，求△ABC的面积. 课堂练习 一、单选题 1．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a､b､c，若，，，则B等于（ ） A． B． C．或 D．3 3．在△ABC中，已知，，，则此三角形（ ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 4．若△ABC中，，则△ABC的外接圆半径为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在△ABC中，，，，则（ ） A． B． C．或 D． 6．某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要（ ） A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元 7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，则下列等式正确的是（ ） A．a=bcos C+ccos B B．a=bcos C-ccos B C．a=bsin C+csin B D．a=bsin C-csin B 8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、