6.2.4向量的数量积 2021-2022学年高一下学期人教A版2019必修第二册同步练习

同步训练五向量的数量积运算 基础巩固 一、选择题 1. 已知单位向量的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 选项：  选项：  选项： 选项：  得， 故选D． 2. 已知非零向量，，，则“”是“”的      A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：若，则，与可能垂直，推不出； 若，则必成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ， ， ， ， 故选B． 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： ， ， ， 又， 的夹角为． 故选C． 5. （多选）若是任意的非零向量，则下列叙述正确的是  A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】解：设、、是任意的非零向量， 对于，，则，正确； 对于，，， 若，则，故错误． 对于，，则，正确； 对于，若，则，即，所以，即，正确． 故选ACD． 二、填空题 6. 已知向量，的夹角为，，，则          ． 【答案】 【解析】解：向量，的夹角为，，， ， ， 故答案为． 7. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为           【答案】 【解析】解：非零向量，满足，且， 设与的夹角， 则， ， ，， 故答案为：． 三、解答题 8. 已知向量与的夹角，且，． 求， 求与的夹角的余弦值． 【答案】解：由已知，得． ． 设与的夹角为． 则， 与的夹角的余弦值为． 【解析】本题考查向量的数量积，向量的模和向量的夹角，考查了计算能力，属于基础题． 根据向量的数量积进行求解即可；再利用向量的模的公式，根据，代入求解即可； 设与的夹角为，然后根据，将数值代入即可得到答案． 9. 已知，，向量与的夹角为． 求； 求令向量与垂直的实数的值． 【答案】解： 因为向量与垂直， 所以 ， 解得． 【解析】本题考查平面向量的模、数量积以及两向量垂直的条件，考查计算能力，属基础题． 根据向量的模的平方等于向量的平方，先对向量的模平方，把模长的运算变为向量的数量积运算，得到的结果再开方； 根据两向量垂直，数量积为，列出方程求出的值． 能力提升 10. 在中，下列命题正确的个数是 ； ； 点为的内心，且，则为等腰三角形； ，则为锐角三角形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由，得： 在中，，故错误； 在中，，故正确； 在中，点 为的内心， 且， 即， 即， 因为表示的平分线，设， 故，故， 则，为等腰三角形，故正确； 在中，，则是锐角，但是不能保证另外两个角均为锐角，即不一定为锐角三角形，故错误． 共计个正确， 故选：． 11. （多选）已知向量，，则下列命题正确的是  A. 若，则 B. 若在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 存在，使得 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】解：若，则，则，故A错误； 若在方向上的投影向量为，且，则， ， 因为向量夹角的范围是 ，所以向量与的夹角为，故B正确； ，， 若，则，即 ， ，， 所以两向量方向相同，所以，即且为锐角，方程有解， 即存在，使得，故C正确；  ，其中，且为锐角． 因为，，则当时，的最大值为，故D正确， 故选BCD． 12. 如图，在中，是的中点，在边上，，，与的交点为若，则          ． 【答案】 【解析】解：是的中点，， ， ，，三点共线， 设，且三点，，共线， ，解得， ， ， ， ， 故答案为． 13. 在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则           ． 【答案】 【解析】解：如下图，取的中点，   因为，所以，， 又，所以， 又， 所以，又因为，所以， 所以 ． 故答案为． 14. 如图，在四边形中，，． 若为等边三角形，且，是的中点，求； 若，，，求 【答案】解：因为为等边三角形，且， 所以                        又，所以，因为是的中点，所以： ． 又，所以， ． 因为，， 所以：即． 又． 所以． 所以． 故． 【解析】本题主要考查向量的数量积的概念及其运算、利用向量的数量积求向量的模等相关知识，属于拔高题． 根据向量的加减法找到向量的表示，然后求即可 根据数量积，结合向量的表示及向量的数量积运算和利用向量的数量积求向量的模，列式求解即可． 第2页，共3页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $同步训练五向量的数量积运算 基础巩固 一、选择题 1. 已知单位向量的夹角为，则在下列向量中，与垂直的