第07讲 圆与圆的位置关系（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第7讲 圆与圆的位置关系(核心考点讲与练) 圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 （1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为， ① 外离 ② 外切 ③ 相交 ④ 内切 ⑤ 内含 （2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定. 考点一：判断圆与圆的位置关系 例1．（2021·上海·高二专题练习）若圆，，则和的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， ， 因此，圆与圆外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 例2．（2020·上海·高三专题练习）已知，且，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助圆与圆关系确定选择. 【详解】,表示圆心为，半径为的圆内部的点，范围记为P 表示圆心为，半径为的圆内部的点， 因为，所以两圆外切，P在A中所表示的点的范围外，所以A不成立； 表示圆心为，半径为的圆外部的点， 因为，所以两圆外切，P在B中所表示的点的范围内，所以B成立； 表示圆心为，半径为的圆内部的点， 因为，所以两圆相交，P中有些点在C中所表示的点的范围外，所以C不恒成立； 表示圆心为，半径为的圆外部的点， 因为，所以两圆相交，P中有些点在D中所表示的点的范围外，所以D不恒成立； 故选：B 【点睛】本题考查两圆位置关系，考查综合分析判断能力，属中档题. 例3．（2021·上海·高二专题练习）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作.已知圆:，直线. （1）若直线l关于圆的距离比，求实数m的值; （2）当时，若圆与y轴相切于点，且直线l关于圆的距离比，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由 【答案】（1）；（2）外切或相离，答案见解析. 【分析】（1）根据新定义的要求即可求出的值； （2）先设圆的方程，然后根据新定义可求出的值，再根据的值判断两圆的位置关系. 【详解】（1）由直线关于圆的距离的比的定义 得，所以 （2）当时，直线 圆与轴相切点于 所以可设： 或 ①当时，： 两圆的圆心距，两圆半径之和为，因此两圆外切 ②当时，： 两圆的圆心距大于两圆的半径之和，因此两圆外离 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用新定义圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，可求出的值，利用圆与y轴相切于点设出其方程为根据新定义可求出的值，再比较圆心距与半径之和、差，可判断两圆的位置关系. 考点二：由圆的位置关系确定参数或范围 例1．（2022·上海·高三专题练习）若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k， 则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为， 圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1． 要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点， 则|C1C2|或|C1C2|， 即5或5， 解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11． ∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题． 例2．（2022·上海·高三专题练习）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹. 【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为， 圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为， 根据圆与圆相切，则，，两式相减得， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题. 例3．（2020·上海·高二课时练习）若圆与圆内切，则等于__________. 【答案】 【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解. 【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2； 圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1； 当两圆内切时，圆心距 ，解得 故填： 【点睛】本题考查