第02讲 复数的几何意义-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 复数的几何意义 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 通过本节课的学习，要求掌握复数的几何表示，会在复平面内表示任一复数，掌握复数与向量间的关系. ( 知识精讲 ) 知识点 1.复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.复数的几何意义 3.复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【微点拨】1．复数的几何意义 这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 2．复数的模 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝； (2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离. 【即学即练1】已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，可直接得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为.故答案为：. 【即学即练2】复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________． 【答案】13 【分析】求出复数的坐标，再由模长公式求解即可. 【详解】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)．所以点Z与原点O的距离为.故答案为：. 【即学即练3】若复数z满足，则_______. 【答案】 【分析】设复数，利用复数相等得到方程组，求解，再利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】设复数，则，则， 所以，则，所以；故答案为：. 【即学即练4】若复数，，且、在复平面上所对应的点为、，则这两点之间的距离为______． 【答案】 【分析】根据复数，，可得在复平面上所对应的点为、，代入两点间距离公式，即可得答案. 【详解】因为复数，，所以，， 所以这两点之间的距离.故答案为：. 【即学即练5】已知复数，求． 【答案】 【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，因此，. 【即学即练6】复数，当m取何实数时： （1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分． 【答案】 （1）或；（2）；（3）或. 【分析】 （1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得． （1）因为z为实数，所以，解得或 （2）由z为纯虚数，则解得 （3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或. ( 能力拓展 ) 考法01 　复数与复平面内的点的关系：按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 【典例1】在复平面内，描出表示下列复数的点： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）． 【答案】答案见解析 【分析】 （1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （1）对应点为， （2）对应点为（－3,2）， （3）对应点， （4）对应点 （5）对应点， （6）对应点， 【典例2】实数取什么值时，复平面内表示复数的点： （1）位于第三象限；（2）位于第四象限；（3）位于直线上． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 依题意表示出复数在复平面内点的坐标， （1）位于第三象限即横、纵坐标均小于零，得到不等式组，解得即可； （2）位于第四象限即横坐标大于零，纵坐标小于零，得到不等式组，解得即可； （3）将坐标代入直线，求出未知数即可； 【详解】 解：因为是实数，所以，也是实数．复数在复平面内的点坐标为 （1）当实数满足即时，点位于第三象限． （2）当实数满足即时，点位于第四象限． （