第02讲 平面向量的加、减法运算-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的加、减法运算 课程标准 课标解读 1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和． 2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算． 3．掌握向量减法的概念．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的． 4．掌握相反向量． 5.掌握向量加、减法的几何意义． 通过本节课的学习，要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律，掌握两种运算的几何意义，会进行平面向量的相关运算，注意两种运算的条件. 知识点 1．向量的加法 （1）向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． （2）向量加法的三角形法则 如图，已知向量 ， ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则向量 叫做 与的 和，记作 ，即 ，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 【微点拨】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形． （3）向量加法的平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量 和 ，作 ， ，则 、 、 三点不共线，以 、 为邻边作平行四边形 ，则对角线上的向量 ，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． 【微点拨】若 个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即 ，如图． （4）和向量的模与原向量之间的关系 一般地，我们有 ． 当 与 共线且同向时， ； 当 与 共线且异向时， ； 当 与 不共线时， ． （5）向量加法的运算律 交换律： ； 结合律： ． 注意： ①当 、 至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立； ②当 、 共线时，交换律和结合律也成立． （6）向量求和的多边形法则 由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量 ， ， ， ，在平面上任选一点 ，作 ， ， ， ，则 ． 已知 个向量，依次把这 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第 个向量的终点为终点的向量叫做这 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． （7）向量加法的实际应用 向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用． 2．向量的减法 （1）相反向量 我们把与向量 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 ． 规定零向量的相反向量仍为零向量，且① ；② ； 若 ， 互为相反向量，则 ， ， ． （2）向量减法的定义 向量 加上向量 的相反向量，叫做 与 的差，即 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 3．向量减法的几何意义 （1）非零共线向量 ， 的差 ； ①若 ， 反向，则 与 同向，且 ． ②若 ， 同向， （ⅰ）若 ，则 与 同向，且 ； （ⅱ）若 ，则 与 反向，且 ； （ⅲ）若 ，则 ． 其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）． （2）非零不共线向量 ， 的差 ： ①如图，在平面内任取一点 ，作 ， ，则向量 为所求，即 ．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． ②如图，在平面内任取一点 ，作 ， ，分别以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 ，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则 从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则． 减法的三角形法则的作法：在平面内取一点 ，作 ， ，则 ，即 可以表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（ ， 不共线）和图（2）、（3）（ ， 共线）所示． 减法的平行四边形法则的作法： 当 ， 不共线时．如图（1），在平面内任取一点 ，作 ， ，则由向量加法的平行四边形法则可得 ，这是向量减法的平行四边形法则． 若 ， 同向共线，如图（2）所示； 若 ， 异向共线．如图（3）所示． 5．向量的加法和减法的运算问题 关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“ ”改为“ ”． 解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果． 【微点拨】向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础