05小议恒成立与能成立问题（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■宋秀玲 解决不等式恒成立、能成立问题,常见有 四种解法:解集法,分离参数法,主参换位法 和数形结合法。解答这类问题的方法灵活, 能提升同学们的逻辑推理、数学运算等素养。 恒成立问题:a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max, a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。能成立问 题:a>f(x)能成立⇔a>f(x)min,a≤f(x) 能成立⇔a≤f(x)max。 题型1:自变量在R上取值,不等式恒成 立,求参数的取值范围 例1 设函数f(x)=mx2-mx-1,若 对于x∈R,f(x)<0恒成立,则实数m 的取 值范围是 。 当m=0时,f(x)=-1< 0,符合题意。当m≠0时,f(x) 为二次函数,由f(x)<0恒成立得 m<0, Δ<0,{ 即 m<0, (-m)2-4m×(-1)<0,{ 解得-4<m<0。 综上可得,实数m 的取值范围是(-4,0]。 评注:对于函数f(x)=ax2+bx+c,只 有当a≠0时,才是二次函数。当a>0时,图 像的开口向上,当a<0时,图像的开口向下。 例2 已 知 函 数 f(x)=asinx- 1 2cos2x+a- 3 a+ 1 2 (a∈R),若对任意的 x∈R都有f(x)≤0,则实数a 的取值范围 为( )。 A.- 3 2 ,0[ ) B.[-1,0)∪(0,1] C.(0,1] D.(1,3] 令t=sinx(-1≤t≤1)。 由cos2x=1-2sin2x,可知原函 数等价于g(t)=t2+at+a- 3 a 。因为对于 任意 的 x ∈ R 都 有 f (x)≤0,所 以 g(-1)=1- 3 a≤0 , g(1)=1+2a- 3 a≤0 , ì î í ï ï ï ï 解得0<a≤1,即实 数a的取值范围是(0,1]。应选C。 评注:解答本题要注意两点:一是正弦函 数的有界性,二是换元后新元的取值范围。 题型2:自变量在某个区间上取值,不等 式恒成立,求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)=x2+mx-1,若 对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0成 立,则实数m 的取值范围为 。 画出函数 f(x)的大致图 像,如图1所示。 图1 对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)< 0,只需满足 f(m)<0, f(m+1)<0,{ 由此代入解析式 得 m2+m2-1<0, (m+1)2+m(m+1)-1<0,{ 解得- 2 2< m<0。故实数m 的取值范围是 - 2 2 ,0 æ è ç ö ø ÷。 评注:画二次函数图像有两个要点:一是 看二次项系数的符号,确定二次函数图像的 开口方向;二是看对称轴和最值,确定二次函 数的具体位置。 例4 已知函数f(x)=loga(2x-a)在 区间 1 2 ,2 3[ ] 上恒有f(x)>0,则实数a 的 取值范围是( )。 A.13 ,1( ) B.13,1[ ) C.23 ,1( ) D.23,1[ ) 51 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月 当0<a<1时,函数f(x) 在区间 1 2 ,2 3[ ] 上是减函数,要 使loga 4 3-a( )>0,需满足0< 4 3-a<1 ,解 得 1 3<a< 4 3 ,此时1 3<a<1 ;当a>1时,函 数f(x)在区间 1 2 ,2 3[ ] 上是增函数,要使 loga(1-a)>0,需满足1-a>1,解得a<0, 此时实数a 不存在。综上所述,实数a 的取 值范围是 1 3 ,1( )。应选A。 评注:解对数型函数问题,应注意对底数 的分类讨论。 题型3:当参数在某个区间上取值时,不 等式恒成立,求自变量的取值范围 例5 已知函数y=mx2-mx-6+m, 若对于1≤m≤3,都有y<0恒成立,则实数 x 的取值集合为 。 对于1≤m≤3,y<0恒成 立,可知 mx2-mx-6+m<0 恒成立,即(x2-x+1)m-6<0恒成立,所 以x2-x+1< 6 m 恒成立,所以x2-x+1< 6 3=2 ,解得1- 5 2 <x< 1+ 5 2 。故实数x 的取值集合为 x 1- 5 2 <x< 1+ 5 2{ }。 评注:转换思维角度,把变量与参数变换 位置,构造以参数为变量的函数,再求得原变 量的取值范围。 例6 已知函数f(x)是定义在 R上的 单调增函数,f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任 意的a∈[-1,1]恒成立,则x 的取值范围为 。 因为f(x)是定义在R上的 单调增函数,所以1-ax-x2≤ 2-a,a∈[-1,1],即a(x-1)+x2+1≥0 对a∈[-1,1]恒成立。 令函数g(a)=a(x-1)+x2+1,则 g(-1)=x2-x+2≥0, g(1)