04聚焦含参数的一元二次不等式问题（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■赵 军 含有参数的一元二次不等式问题的常见 题型主要有四种:求解集问题、求相关系数问 题、恒成立问题以及有解问题。掌握常见题 型与解题方法,对同学们解答含参数的一元 二次不等式问题有一定帮助。 一、正向求解集 例1 解关于实数x 的不等式:ax2+ (a-3)x-3>0。 解:原不等式化为(ax-3)(x+1)>0。 当a=0时,不等式的解集为{x|x<-1}。 当a≠0时,方程(ax-3)(x+1)=0的 根为x1= 3 a ,x2=-1。①当a>0时,解集 为 x x> 3 a 或x<-1{ };②当-3<a<0时, 3 a<-1 ,解集为 x 3 a<x<-1{ };③当a= -3时, 3 a=-1 ,解集为⌀;④当a<-3时, 3 a>-1 ,解集为 x -1<x< 3 a{ }。 综上所述,原不等式的解集为:①当a> 0时,x x> 3 a 或x<-1{ };②当-3<a<0 时,x 3 a<x<-1{ };③当a=-3时,x∈ ⌀;④当a<-3时,x -1<x< 3 a{ };⑤当 a=0时,{x|x<-1}。 解含参数的一元二次不 等式时,若 二 次 项 系 数 为 参 数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定 不等式是一次不等式还是二次不等式,然后 讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解 集的形式。 练习1:解关于实数x 的不等式:x2- (a+1)x+a<0。 提示:由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)· (x-1)=0,所以x1=a,x2=1。 故当a>1时,解集为{x|1<x<a};当 a=1时,解集为⌀;当a<1时,解集为{x| a<x<1}。 二、逆向求系数 例2 若关于x 的不等式ax2+bx-1> 0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx2+ ax-1<0的解集是( )。 A.x -1<x< 2 3{ } B.x x<-1或x> 2 3{ } C.x - 2 3<x<1{ } D.x x<- 2 3 或x>1{ } 解:由题意可知,1和2是关于x 的方程 ax2+bx-1=0的两个实根。由根与系数的 关系得 1+2=- b a , 1×2=- 1 a , ì î í ï ï ï ï 解得 a=- 1 2 , b= 3 2 。 ì î í ï ï ï ï 所以不等式bx2+ax-1<0,即 3 2x 2- 1 2x-1<0 ,也即3x2-x-2<0,解得- 2 3< x<1。应选C。 解答这类问题,应从不等 式的解集入手,根据根与系数 的关系结合已知条件进行求解。 练习2:已知不等式ax2+bx+2>0的 解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+ bx+a<0的解集为( )。 A.x -1<x< 1 2{ } B.x x<-1或x> 1 2{ } C.x -2<x<1{ } D.x x<-2{ 或x>1} 31 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月 提示:因为不等式ax2+bx+2>0的解 集为{x|-1<x<2},所以方程ax2+bx+ 2=0的两根为-1,2,且a<0,所以-1+2= - b a ,-2= 2 a ,解得a=-1,b=1。所以不 等式2x2+bx+a<0可化为2x2+x-1<0, 由此解得-1<x< 1 2 。故不等式2x2+bx+ a<0的解集为 x -1<x< 1 2{ }。应选A。 三、恒成立问题 例3 设函数f(x)=mx2-mx-1。 (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成 立,求实数m 的取值范围。 (2)若对于x∈ 1,3[ ],f(x)<-m+5 恒成立,求实数m 的取值范围。 解:(1)要使 mx2-mx-1<0恒成立, 当m=0时,显然-1<0成立;当 m≠0时, 由 m<0, Δ=m2+4m<0,{ 解得-4<m<0。故实 数m 的取值范围是(-4,0]。 (2)由 f(x)<-m+5,可 得 mx2- mx-1<-m+5,即 m(x2-x+1)-6<0 恒成立。因为x2-x+1= x- 1 2( ) 2 + 3 4> 0,所 以 m< 6 x2-x+1 。又 因 为 函 数 y= 6 x2-x+1= 6 x- 1 2( ) 2 + 3 4 在[1,3]上的最小 值为 6 7 ,所以只需满足 m< 6 7 ,即实数 m 的 取值范围是 -∞, 6 7( )。 对于含参数的一元二次 不等式恒成立问题,一般是通 过变量分离,将其转化为最值问题求解。 练习3:已知函数f(x)=x2- a+ 1 a( )x +1。∀a∈ 1,2[ ],f(x)≥0恒成立,求实数 x 的取值范围。 提示:由题意可得,∀a∈[1,2],f(x)≥ 0恒成立。 当x≤0时,a∈[1,2],显然