03指数与对数比较大小的方法探究（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■ 陈 猛 指数与对数的比较大小是函数单调性的 应用载体,又是逻辑推理与化归思想的体现, 是提高同学们数学综合素养的有效途径。下 面通过几道例题的分析,希望对同学们的学 习有所帮助。 例1 设a=log3e,b=e1.5,c=log13 1 4 , 则( )。 A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 解:因为b=e1.5>2=log39>log34=c= log13 1 4>log 1 3 1 3=1 ,而1>log3e=a,所以 a<c<b。应选D。 感悟:比较指数与对数的大小,可利用指 数函数与对数函数的单调性,同时引入0,1 等中间量进行求解。 例2 设x,y,z为正数,且2x=3y=5z, 则( )。 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 解:令2x=3y=5z=t,x,y,z为正数,则 t>1,所以x=log2t= lgt lg2 ,y= lgt lg3 ,z= lgt lg5 。 2x-3y= 2lgt lg2 - 3lgt lg3 = lgt(lg9-lg8) lg2×lg3 >0, 即 2x >3y。2x -5z= 2lgt lg2 - 5lgt lg5 = lgt(2lg5-5lg2) lg2×lg5 = lgt(lg25-lg32) lg2×lg5 <0, 即2x<5z。 综上可得,3y<2x<5z。应选D。 感悟:针对已知条件中的连等式,可借助 新的参数作为变量,表示题目中的相关量,再 通过作差或作商来比较大小。 例3 设 a=log0.20.3,b=log20.3, 则( )。 A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 解:因为a=log0.20.3>log0.21=0,b= log20.3<log21=0,所以ab<0。 因为 a+b ab = 1 a+ 1 b=log0.30.2+log0.32= log0.30.4>log0.31=0,所以a+b<0。 又 a+b ab =log0.30.4<log0.30.3=1 ,所以 0< a+b ab <1 ,所以ab<a+b<0。应选B。 感悟:根据已知条件(或选项)构造相应 的函数,利用函数的单调性比较大小。 例4 若a>b>1,0<c<1,则( )。 A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 解:因为幂函数y=xc(0<c<1)在(0, +∞)上是增函数,又a>b>1,所以ac>bc, A不正确。幂函数y=xc-1(c-1<0)在(0, +∞)上是减函数,由a>b>1,可得bc-1> ac-1,所以abc>bac,B不正确。由a>b>1, 可得lga>lgb>0,所以alga>blgb>0。 因 为 lgc <0,所 以 alga lgc < blgb lgc 。又 (lgc)2 lga·lgb>0 ,所以algc lgb< blgc lga ,即alogbc< blogac,C 正 确。由 函 数 y=logax 与y= logbx(a>b>1,0<x<1)的图像(图略)知在 x=c处的函数值满足logac>logbc,D不正 确。应选C。 感悟:利用函数的图像与性质比较函数 值的大小,可以达到学以致用的目的。 作者单位:山东省平阴县实验高级中学 (责任编辑 郭正华) 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月