02求函数最值与值域的常用方法（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■甄新锋 求函数的最值与值域是高中数学的重要 内容。函数的值域就是全体函数值的集合,是 由其定义域、对应法则共同决定的。求函数的 最值与值域在解法上是相通的。下面举例分 析,供同学们学习与参考。 方法一:函数的单调性法 例1 已知函数f(x)=ax+ 1 a (1-x) (a>0),且 f(x)在[0,1]上的最小值为 g(a),则g(a)的最大值为 。 函数f(x)= a- 1 a( )x+ 1 a ,当a>1时,a- 1 a>0 ,此时f(x)在[0, 1]上为增函数,所以g(a)=f(0)= 1 a ;当0< a<1时,a- 1 a<0 ,此时f(x)在[0,1]上为 减函数,所以g(a)=f(1)=a;当a=1时, f(x)=1,此时g(a)=1。 由上可得函数g(a)= a,0<a<1, 1 a ,a≥1,{ 所以 g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为 减函数。因为当a=1时,a= 1 a=1 ,所以当 a=1时,g(a)取最大值为1。 评注:利用单调性法求最值,先确定函数 的单调性,再由单调性求最值。 方法二:判别式法 例2 设非零实数a,b满足a2+b2=4, 若函数y= ax+b x2+1 存在最大值 M 和最小值 m,则 M-m= 。 由y= ax+b x2+1 ,可得yx2- ax+y-b=0,由题意知此方程有实根,所以 Δ=a2-4y(y-b)≥0,即4y2-4yb-a2≤ 0。因为a2+b2=4,所以4y2-4yb+b2- 4≤0,即[2y-(b+2)][2y-(b-2)]≤0,解 得 b-2 2 ≤y≤ b+2 2 ,所 以 m= b-2 2 ,M = b+2 2 ,可得 M-m=2。 评注:形如分子、分母的最高次数为二次 的分式函数,可利用判别式法求函数的最值。 方法三:二次函数的性质法 例3 已知函数f(x)=4x2-mx+1在 (-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单 调递增,则f(x)在[1,2]上的值域为 。 因为f(x)在(-∞,-2)上 单调递减,在[-2,+∞)上单调 递增,所以函数f(x)=4x2-mx+1的对称 轴方程为x= m 8=-2 ,可得m=-16。 又[1,2]⊆[-2,+∞),且f(x)在[-2, +∞)上单调递增,所以f(x)在[1,2]上单调 递增。所以当x=1时,f(x)取得最小值 f(1)=4-m+1=21;当x=2时,f(x)取得 最大值f(2)=16-2m+1=49。 故f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]。 评注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0), 当a>0时,顶点为图像的最低点,即当x= - b 2a 时,y 的值最小;当a<0时,顶点为图像 的最高点,即当x=- b 2a 时,y 的值最大。 方法四:基本不等式法 例4 已知幂函数 f(x)的图像过点 2, 1 4( ),则函数g(x)=f(x)+ x2 4 的最小值 为 。 设幂函数f(x)=xα,因为 f(x)的图 像 过 点 2, 1 4( ),所 以 2α= 1 4 ,解得α=-2,所以幂函数f(x)=x-2, 其中x≠0。因为函数g(x)=f(x)+ x2 4= 01 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月 1 x2+ x2 4≥2 1 x2 ·x 2 4 =1 ,当且仅当x=± 2 时“=”成立,所以函数g(x)取得最小值为1。 评注:利用基本不等式求最值时,必须满 足的三个条件:一正、二定、三相等。“一正” 就是各项必须为正数;“二定”就是要求和的 最小值,必须把构成和的二项之积转化成定 值,要求积的最大值,必须把构成积的因式的 和转化成定值;“三相等”就是检验等号成立 的条件,判断等号能否取到,只有等号能成 立,才能利用基本不等式求最值。 方法五:分离常数法 例5 当-3≤x≤-1时,函数y= 5x-1 4x+2 的最小值为 。 由函数y= 5x-1 4x+2 ,可得y= 5 4- 7 4(2x+1) 。因为-3≤x≤-1,所 以 7 20≤- 7 4(2x+1)≤ 7 4 ,所以8 5≤y≤3 。故所 求函数的最小值为 8 5 。 评注:求形如y= cx+d ax+b (ac≠0)的函数 的值域或最值,常用分离常数法求解。 方法六:反解法 例6 函数y= 1-|x| 1+|x| 的值域为 。 由函 数 y= 1-|x| 1+|x| ,可 得 |x|= 1-y 1+y 。因为|x|≥0,所以 1-y 1+y ≥0,所 以-1<y≤1。故所求函数的值域(-1,1]。 评注:反解法求函数的值域,先由已知函 数式解出x,再根据x 的取值范围列不等式 求出值域。 方法七:换元法 例7 函数y=x+ 1-