01高一上学年期末复习与总结（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■张文伟 必修(第一册)的主要内容是集合与常用 逻辑用语,一元二次函数,方程和不等式,函 数的概念与性质,指数函数与对数函数以及 三角函数。同学们要理解它们的概念、性质 及应用,掌握一些经典题型的解题思想与方 法,注意归纳总结,逐步提高解题能力和创新 思维能力。 题型1:集合的概念与运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集 运算,这也是高考对集合部分的主要考查点。 对于较抽象的集合问题,需借助 Venn图或 数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象 化,进而能使问题简捷、准确地获解。 例1 (1)(多选题)已知集合 A={2, 3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m 等于( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知全集U={x|x>0},集合 A= {x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x| 5-a<x<a}。 ①求 A∪B,(∁UA)∩B。②若 C⊆ (A∪B),求a的取值范围。 解:(1)当m=0时,B=⌀,则B⊆A,符 合题意。当m≠0时,B= 6m{ },由B⊆A 知 6 m=2 或 6 m=3 ,即 m=3或 m=2。综上可 知,m=0或m=2或m=3。应选A,C,D。 (2)①A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2< x<10}={x|2<x<10}。 ∁UA={x|0<x<3或x≥7},(∁UA)∩ B={x|2<x<3或7≤x<10}。 ②若C=⌀,则5-a≥a,解得a≤ 5 2 ;若 C≠⌀,则2≤5-a<a≤10,解得 5 2<a≤3 。 综上可得,a≤3,即a∈(-∞,3]。 题型2:充分条件与必要条件 若p⇒q,且q⇒/p,则p 是q的充分不必 要条件,同时q 是p 的必要不充分条件;若 p⇔q,则p 是q 的充要条件,同时q 是p 的 充要条件。充分、必要条件的判断和证明是 高考的一个常考点,常与不等式等知识结合 命题。学会用集合的观点,分析和解决充分、 必要条件的判断和求参数范围问题,提升转 化与化归能力。 例2 (1)(多选题)对于任意实数a,b, c,下列结论正确的是( )。 A.“a=b”是“ac=bc”的充分条件 B.“a+ 5是无理数”是“a 是无理数”的 必要条件 C.“a=b”是“a2=b2”的充分条件 D.“a>b”是“a>|b|”的必要条件 (2)设p:实数x 满足A={x|x≤3a 或 x≥a(a<0)},q:实数x 满足B={x|-4≤ x<-2},且q是p 的充分不必要条件,求实 数a的取值范围。 解:(1)由a=b,可得ac=bc,A正确。 a+5是无理数与a是不是无理数没有关系, B错误。由a=b,可得a2=b2,C正确。由a> |b|,可得a>b,D正确。应选A,C,D。 (2)由q 是p 的充分不必要条件,可得 B⫋A,所以 a≤-4, a<0{ 或 3a≥-2, a<0,{ 由此解得 - 2 3≤a<0 或a≤-4。故实数a 的取值范 围为 a - 2 3≤a<0 或a≤-4{ }。 题型3:全称量词命题和存在量词命题 全称量词强调的是“任意”“一切”“每一 个”等,常用符号“∀”表示,而存在量词强调 的是部分,常用符号“∃”表示。对于全称量 词命题和存在量词命题的否定要把握两点: 一是改量词,二是否结论。 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月 例3 (1)命题p:“∀x∈R,x2>0”,则 ( )。 A.p 是假命题;􀱑p:∃x∈R,x2<0 B.p 是假命题;􀱑p:∃x∈R,x2≤0 C.p 是真命题;􀱑p:∀x∈R,x2<0 D.p 是真命题;􀱑p:∀x∈R,x2≤0 (2)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤4}, x-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2x+2-a= 0。若命题􀱑p是真命题,且命题q 是真命 题,求实数a的取值范围。 解:(1)因为02>0不成立,所以“∀x∈ R,x2>0”为假命题。根据全称量词命题的 否定是存在量词命题可知,“∀x∈R,x2>0” 的否定是“∃x∈R,x2≤0”。应选B。 (2)若p:∀x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0 为真命题,则a 小于或等于x 的最小值,即 a≤1。当命题􀱑p 是真命题时,命题p 为假 命题,所以a>1。若q:∃x∈R,x2+2x+ 2-a=0为真命题,即方程x2+2x+2-a= 0有解,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1。 当命题􀱑p 是真命题,且命题q是真命题时, 需满足 a>1, a≥1,{ 解得a>1,即实数a的取值范 围是(1,+∞)。 题型4:基本不等式及其应用 基本不等式 ab≤ a+b 2 (a>0,b>0)常 有两种变形:ab≤