12 2021年高考函数的奇偶性和周期性中的“一题多解”（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■卢智军 一题多解可以开拓思路,培养同学们的 发散思维能力,还可以通过纵横发散,使所学 知识串联、综合沟通,达到举一反三的目的。 下面举例分析,供同学们学习与参考。 例1 (2021年高考全国卷) 设函数 f(x)= 1-x 1+x ,则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的 是( )。 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解法1:探究函数f(x)= 1-x 1+x 的对称中 心,利 用 奇 函 数 的 定 义 求 解。由 题 意 得 f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x 。 对于A,f(x-1)-1= 2 x-2 ,其定义域 不关于原点对称,可知不是奇函数。对于B, f(x-1)+1= 2 x ,显然是奇函数。对于 C, f(x+1)-1= 2 x+2-2 ,其定义域不关于原 点对称,可知不是奇函数。对于 D,f(x+ 1)+1= 2 x+2 ,其定义域不关于原点对称,可 知不是奇函数。应选B。 解法2:探究函数f(x)= 1-x 1+x 的对称中 心,利用图像平移进行验证。由题意得函数 f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x ,其对称中心为 (-1,-1),将函数f(x)的图像向右平移1 个单位,再 向 上 平 移1个 单 位,可 得 函 数 f(x-1)+1的图像,这时f(x-1)+1的图 像关于原点对称,即为奇函数。应选B。 反思:函数的定义域关于原点对称是判 断函数奇偶性的前提条件,再根据f(-x)与 f(x)的关系得到结论,有时也可以借助图像 的平移探究复合函数的奇偶性。 例2 (2021年 新 高 考 卷)已 知 函 数 f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= 。 解法1:利用赋值法可求参数a的值。 由f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,可 得f(-1)=f(1),所以- a 2-2( )=2a- 1 2 , 所以a=1。 解法2:利用偶函数的定义可求参数a的 值。因 为 f(x)=x3(a·2x -2-x),所 以 f(-x)=-x3(a·2-x-2x)。又因为f(x)为 偶函数,所以f(-x)=f(x),即x3(a·2x- 2-x)=-x3(a·2-x-2x),整理可得x3·(a- 1)(2x+2-x)=0对于任意的x 恒成立,故 a-1=0,即a=1。 反思:依据f(-x)=f(x)对于任意的x 恒成立,可赋值确定a的值,也可利用偶函数 的定义转化为含参数的代数式确定a的值。 例3 (2021年高考全国卷)设f(x)是 定义域为 R 的奇函数,且满足f(1+x)= f(-x)。若 f - 1 3( ) = 1 3 ,则 f 5 3( ) = ( )。 A.- 5 3 B.- 1 3 C. 1 3 D. 5 3 解法1:利用函数的奇偶性和函数的递 推关系f(1+x)=f(-x)求值。 由 题 意 可 得,f 5 3( ) =f 1+ 2 3( ) = f - 2 3( )= - f 2 3( )。 因 为 f 2 3( ) = f1- 1 3( )= f 1+ - 1 3( )[ ] = f 1 3( ) = -f - 1 3( )=- 1 3 ,所以f 5 3( )= 1 3 。应选C。 解法2:由递推关系和奇函数探究周期 03 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2022年1月 性求值。 由f(x+1)=f(-x)和f(x)为奇函 数,可得f(x+1)=-f(x),则f(x+2)= -f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期 为2,所以f 5 3( )=f 2- 1 3( )=f - 1 3( )= 1 3 。应选C。 反思:由递推关系和奇偶性探究周期性 求值,往往使所求问题简单化。 例4 (2021年 高 考 全 国 卷)设 函 数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)= ax2+b。若f(0)+f(3)=6,则f 9 2( )= ( )。 A.- 9 4 B.- 3 2 C. 7 4 D. 5 2 解法1:利用f(x+1)是奇函数,f(x+ 2)是偶函数构建方程,确定f(x)解析式,再 利用递推法求值。 由f(x+1)是奇函数,可得f(-x+ 1)=-f(x+1),由f(x+2)是偶函数,可得 f(x+2)=f(-x+2)。 据此解析式进行赋值:令 x=1,可得 f(0)=-f(2)=-(4a+b),f(3)=f(1)= a+b。 因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+ b)+a+b=6,可得a=-2。 令x=0