13双函数中任意性与存在性问题探（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■袁满成 函数中的任意性与存在性问题,是高中 数学的重要内容,渗透着化归与转化、数形结 合、函数与方程等数学思想,一直是高考命题 的热点,也是同学们学习的难点。这类问题 既有单一函数的任意性与存在性问题,也有 双函数中的任意性与存在性问题,同时变量 也涉及单变量与双变量。下面就双函数中的 任意性与存在性问题进行探究,意在抛砖引 玉。 一、双函数、单变量的任意性与存在性问题 双函数、单变量的任意性与存在性问题, 需要优先考虑分离参数法,并转化为最值(或 临界值)进行研究,但要注意利用的最值(或 临界值)正好是相反的。当分离参数构造所 得函数的最值不好求时,可以利用作差、分类 讨论的方法进行解决。 例1 已知函数f(x)=logax,g(x)= 2loga(2x+t-2),其中a>0且a≠1,t∈R。 当0<a<1,且x∈ 14 ,2[ ] 时,f(x)≥g(x) 恒成立,求实数t的取值范围。 解:由 f(x)≥g(x)恒 成 立,可 得 logax≥2loga (2x+t-2)恒 成 立,所 以 1 2logax≥loga (2x+t-2)恒成立。因为0< a<1,x∈ 14 ,2[ ],所以 x≤2x+t-2,可得 t≥-2x+ x+2恒成立,即t≥(-2x+ x+2)max。令函数y=-2x+ x+2= -2 x- 1 4( ) 2 + 17 8 ,x∈ 14 ,2[ ],所以当x= 1 4 时,ymax=2,故实数t 的取值范围为[2, +∞)。 评析:若f(x)≥a 或g(x)≤a 恒成立, 只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a,求出函 数f(x)的最小值或函数g(x)的最大值即可 解决问题。 例2 已知函数h(x)=2x-1,g(x)= m(x2-1),问是否存在实数m,使得不等式 h(x)>g(x)对任意的x∈[-2,2]恒成立。 解:假 设 存 在 实 数 m,使 得 不 等 式 h(x)>g(x)对任意的x∈[-2,2]恒成立。 令函数f(x)=h(x)-g(x)=2x-1- m(x2-1)=-mx2+2x+m-1,x∈[-2, 2],要使不等式h(x)>g(x)对任意x∈ [-2,2]恒成立,即f(x)>0对x∈[-2,2] 恒成立。当 m=0时,f(x)=2x-1,在 -2≤x≤ 1 2 上,f(x)≤0,在 1 2<x≤2 上, f(x)>0,可知不满足题意;当m≠0时,函数 f (x ) 只 需 满 足 -m>0, 1 m≤-2 , f(-2)>0 ì î í ï ï ï ï 或 -m>0, -2< 1 m<2 , Δ=4+4m(m-1)<0 ì î í ï ï ï ï 或 -m<0, f(2)>0, f(-2)>0。 ì î í ïï ï 据 此 代 入 化 简 整 理 得 m<0, - 1 2≤m<0 , m<- 5 3 ì î í ï ï ï ï ïï 或 m<0, -2< 1 m<2 , m∈⌀ ì î í ï ï ï ï 或 m>0, m<1, m<- 5 3 , ì î í ï ï ï ï 所以m∈⌀。故 不存在实数m,使得不等式h(x)>g(x)对 任意的x∈[-2,2]恒成立。 评析:对于不适合分离参数的不等式,常 用分类讨论法,结合函数的单调性或最值,求 得参数的取值范围。 二、双函数、双变量的任意性与存在性问题 双函数、双变量的任意性与存在性问题, 通常是将含有全称量词和存在量词的条件 “等价转化”为两个函数值域之间的关系(或 23 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2022年1月 两个函数最值之间的关系)进行研究。 例3 已知函数f(x)= 1 2x 2+x,函数 g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使 得f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围。 解:因为f(x),g(x)在[0,2]上都是增 函数,所以f(x)的值域A=[0,4],g(x)的 值域B=[-a,ln3-a]。若存在x1,x2∈ [0,2],使得f(x1)>g(x2),则f(x)max> g(x)min,即4>-a,所以a>-4。故实数a 的取值范围是(-4,+∞)。 评析:对任意的x1∈A,任意的x2∈B, 使得f(x1)≤g(x2),则f(x)max≤g(x)min。 对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≤ g(x2),则f(x)max≤g(x)max。对任意的x1∈ A,存在 x2∈B,使得 f(x1)≥g(x2),则 f(x)min≥g(x)min。 例4 已知函数f(x)=2x+ax2(a> 0),函数g(x)=x2-4x+1。若对任意x1∈ [-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)= g(x2),