11魅力无限的函数新定义问题（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■张 静 函数的新定义问题是近几年高考命题的 一个热点,常见的命题形式有新概念、新性质 等。下面举例分析,供大家学习与提高。 一、新定义的概念问题 准确理解新定义的概念,将所给新定义 与所学知识结合起来,从而达到解决问题的 目的。 例1 如果函数y=f(x)在其定义域内 存在实数x0,使得f(kx0)=f(k)f(x0)(k 为常数)成立,则称函数y=f(x)为“对k 的 可拆分函数”。 (1)判断f(x)= 1 2x+1 是否为“对2的 可拆分函数”。 (2)若f(x)= a 2x+1 (a≠0)是“对2的可 拆分函数”,求实数a的取值范围。 解:(1)由f(x)= 1 2x+1 ,可得f(2)= 2。由 f (2x)= 1 2 ×2x +1=x +1 , f(2)f(x)= 1 2x+1( )×2=x+2,可知x+ 1≠x+2,故函数y=f(x)在其定义域内不存 在实数x0,使得f(kx0)=f(k)f(x0)成立,即 f(x)= 1 2x+1 不是“对2的可拆分函数”。 (2)由 f(x)= a 2x+1 (a≠0),可 得 f(2)= a 5 ,f(2x)= a 4x+1 。由y=f(x)是 “对2的可拆分函数”知f(2x)=f(2)f(x) 有解,即 a 4x+1= a 5 · a 2x+1 有解。因为a≠ 0,所以a= 5(2x+1) 4x+1 有解。设2x+1=t>1, 则4x+1=(t-1)2+1=t2+2-2t,所以a= 5t t2+2-2t= 5 t+ 2 t-2 (t>1)有解。 因为对钩函数y=t+ 2 t-2 在(1,2]上 单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以当 t= 2时,ymin=22-2,则 5 t+ 2 t-2 取得的 最大值为 5 22-2 = 5(2+1) 2 。 故实数a≤ 5(2+1) 2 ,即实数a 的取值 范围是 -∞, 5(2+1) 2 æ è ç ù û úú。 二、新定义的性质问题 深刻理解新定义的性质,挖掘该性质与 所学知识的联系,从而达到解决问题的目的。 例2 (多 选 题)具 有 性 质 f 1 x( ) = -f(x)的函数,称为满足“倒负”变换的函 数。现给出下列四个函数:①y=ln 1-x 1+x , ②y= 1-x2 1+x2 ,③y= x,0<x<1, 0,x=1, - 1 x ,x>1, ì î í ï ï ï ï ④y=x2。 其中满足“倒负”变换的函数是( )。 A.① B.③ C.② D.④ 解:对 于 ①,由 y =ln 1-x 1+x ,可 得 f 1 x( )=ln 1- 1 x 1+ 1 x =ln x-1 x+1≠-f (x),不符 合“倒负”变换的函数。同理,验证知②③符 合“倒负”变换的函数,④不符合“倒负”变换 的函数。应选B,C。 作者单位:重庆市开州区实验中学 (责任编辑 郭正华) 92 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2022年1月