08三角恒等变换中的“一题多解”（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■田玉帅 一题多解能开拓思路、发展智力、培养发 散思维,能提高分析问题和解决问题的能力, 通过对问题进行多角度、多层次分析,达到对 问题的全面理解,将有助于提高解题的速度 和质量。下面举例分析。 例1 (2021年高考全国卷改编)若α∈ 0, π 2( ),tan2α= cosα 2-sinα ,则tanα= 。 解法1:注意角和名称的差异,利用切化 弦及二倍角公式求解。由tan2α= cosα 2-sinα , 可 得 tan 2α = sin2α cos2α = 2sinαcosα 1-2sin2α = cosα 2-sinα 。因为α∈ 0, π 2( ),所以cosα≠0,所 以 2sinα 1-2sin2α= 1 2-sinα ,解得sinα= 1 4 ,所以 cosα= 1-sin2α= 15 4 。 由上可得,tanα= sinα cosα= 15 15 。 解法2:注意万能公式的沟通作用,从结 论入手构建方程求解。不妨设tanα=y(y> 0),于是得sinα= y 1+y2 ,cosα= 1 1+y2 , tan2α= 2y 1-y2 。由 tan2α = cosα 2-sinα = 1 1+y2 2- y 1+y2 = 2y 1-y2 ,去分母、移项合并、化简 得y2+1=4y y2+1,即 y2+1=4y。因 为y>0,所以y= 15 15 ,即tanα= 15 15 。 感悟:本题考查三角函数的恒等变换与 化简求值。解决三角函数求值问题的关键是 把“所求角”用“已知角”表示。当“已知角”有 两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式;当“已知角”有一个时,应着 眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍半的 关系。万能公式tan2α= 2tanα 1-tan2α ,sin2α= 2tanα 1+tan2α ,cos2α= 1-tan2α 1+tan2α 是沟通二倍角的 正弦、余弦及正切的桥梁。 例2 (2021年全国新高考卷改编)若 tanθ=-2,则 sinθ1+sin2θ( ) sinθ+cosθ = 。 解法1:先利用二倍角公式和平方关系 配方化简,然后增添分母(1=sin2θ+cos2θ) 化为正切的表达式可得结果。 sinθ1+sin2θ( ) sinθ+cosθ = sinθsin2θ+cos2θ+2sinθcosθ( ) sinθ+cosθ =sinθ(sinθ+cosθ) = sinθsinθ+cosθ( ) sin2θ+cos2θ = tan2θ+tanθ 1+tan2θ = 4-2 1+4= 2 5 。 解法 2:利 用 已 知 条 件,借 助sin2θ+ cos2θ=1求解。因为tanθ= sinθ cosθ=-2 ,所 以sinθ=-2cosθ。 sinθ1+sin2θ( ) sinθ+cosθ = sinθsinθ+cosθ( )2 sinθ+cosθ( ) sin2θ+cos2θ( ) = -2cosθ -2cosθ+cosθ( )2 -2cosθ+cosθ( ) 4cos2θ+cos2θ( ) = -2cos3θ -5cos3θ= 2 5 。 感悟:若利用tanθ=-2,求出sinθ, cosθ的值,还需要分象限讨论其正负,其解法 烦琐。通过分子、分母同除以cosα,得到关 于tanα 的式子,再求值,其解法简单明了。 有时 灵 活 地 进 行“1”的 代 换(1=sin2α+ cos2α),是三角化简与求值的常用方法。 作者单位:湖南省长沙市第一中学 (责任编辑 郭正华) 02 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月