07利用函数模型解决实际问题的策略（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■徐春宇 函数模型可以清晰地刻画实际问题中变 量之间存在的联系。下面从函数模型的应 用、函数模型的选择以及函数模型的构造等 方面,帮助同学们学会合理地利用函数模型 解决实际问题。 题型1:应用所给函数模型解决实际问题 此类题型的解题策略是先利用已知数据 得出函数模型中的未知数,再把题目要求的 数值代入完整的函数模型,即可求解。 例1 某工厂产生的废气必须经过过滤 后排放,规定排放时污染物的残留含量不得 超过原污染物总量的0.5%。已知在过滤过 程中的污染物的残留数量P(单位:mg/L)与 过滤时间t(单位:h)之间的函数关系为P= P0·e-kt(k 为常数,P0 为原污染物总量)。 若前4h废气中的污染物被过滤掉了80%, 那么要使废气能够按规定排放,还需要过滤 nh,则正整数n 的最小值为 。(参考数 据:log52≈0.43) 解:由题目中已知信息可知,工厂前4h 过滤了80%的废气污染物。已知污染物残 留数量与过滤时间的函数模型为 P=P0· e-kt,所以前4h还剩下(1-80%)=20%的 未过滤污染物,所以(1-80%)P0=P0e-4k, 可得0.2=e-4k,即-4k=ln0.2=ln 1 5= ln(5-1)=-ln5,所以k= ln5 4 。 因为规定污染物的残留含量不得超过原 污染物总量的0.5%,所以0.5%P0≥P0e-kt, 所以0.005≥e-kt。由k= ln5 4 ,可得ln0.005≥ - ln5 4t ,即 -ln200≥ - ln5 4 t ,所 以t≥ 4ln200 ln5 =4log5200=8+12log52=8+12× 0.43≈13.16,所以t≥13.16(t为正整数),可 得t最小为14。故正整数n(过滤时间t)的 最小值为14-4=10。 评析:此题提供了实际问题的函数模型 以及部分数据,解题的关键是理解函数模型 中变量的实际含义。 题型2:选择函数模型解决实际问题 此类题型的解题策略是分析题目中数据 的变化规律,结合不同函数模型的特征,从已 知的函数模型中选择最切合实际问题情境的 函数模型。 例2 某厂家为增加某种商品的销售 量,决定增加广告投入费用,据市场调查,增 加的销售量x(单位:千件)与广告投入费用 H(x)(单位:万元)满足表1所示的数据(其 中0≤x≤16)。 表1 增加的销售量x 0 1 2 4 5 广告投入费用 H(x) 0 0.452 0.816 1.328 1.5 为了描述增加的销售量与投入广告费用 的关系,现 有 以 下 三 种 函 数 模 型 供 选 择: H(x)=ax3+bx2+cx,H(x)=0.5x+a, H(x)=klogax+b(a,b,c∈R)。 (1)选出你认为最符合实际的函数模型, 并求出相应的函数解析式。 (2)你认为销售量增加达到多少时,才能 使每千件的广告费用最少? 解:(1)函数模型 H(x)=0.5x+a 是递 减函数,由已知数据对应递增函数模型,可知 函数模型 H(x)=0.5x+a 与已知数据不符 合。函数模型 H(x)=klogax+b在x=0处 无意义,故也不符合题意。 对于函数模型 H(x)=ax3+bx2+cx, 它的递增或递减性由常数a,b和c决定,故 是最合适的函数模型。 将表中的数据(1,0.452),(2,0.816),(4, 1.328)代入 H(x)=ax3+bx2+cx,化简整 理可得方程组 a+b+c=0.452, 4a+2b+c=0.408, 16a+4b+c=0.332。 ì î í ïï ï 由此解 81 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月 得 a=0.002, b=-0.05, c=0.5。 ì î í ïï ï 故 H (x)=0.002x3 - 0.05x2+0.5x(0≤x≤16)。 (2)设每千件的广告费用为 W,则关于 W 的函数模型为W(x)= H(x) x =0.002x 2- 0.05x+0.5。易得对称轴方程x=12.5。当 x=12.5时,W(x)有最小值为W(12.5)= 0.1875,所以当销售量增加达到12.5千件 时,每千件的广告费用最少。 评析:在选择函数模型时,可以对比已知 数据和函数模型的变化模式或变化趋势。选 择的函数模型在某些特定点处要符合实际, 如题中当x=0时函数所表示的意义。 题型3:构造函数模型解决实际问题 此类题型是较为复杂的函数应用题,通 常会描述一个实际生活情境并提供实际问题 中变量的具体数值或代表的未知数,要求挑 选合适的变量,构建函数模型,并且利用构建 好的函数模型进行答题。 图4 例3 如图1,某 单位在精准扶贫活动 中,给一户结对帮扶 的贫困家庭赠送 M