06探究辅助角公式中“φ”的确定与运用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年1月刊

■黄文青 在三角函数中,有一种常见而重要的题 型,即化asinx+bcosx 为一个角的三角函 数形式,进而求原函数的周期、值域、单调区 间等。这就要求同学们需要记忆和掌握辅助 角公式。 一、辅助角公式中“φ”的确定方法 asinx+bcosx= a2+b2(sinxcosφ+ cosxsinφ)= a2+b2sin(x+φ),其 中 tanφ= b a ,φ所在的象限由系数a,b的符号 确定。一般地,由tanφ0= b a 求出锐角φ0, 若点(a,b)在第一象限,则取φ=φ0;若点(a, b)在第二象限,则取φ=π-φ0;若点(a,b)在 第三象限,则取φ=π+φ0;若点(a,b)在第四 象限,则取φ=-φ0。这样处理辅助公式中 的“φ”的值,既不容易出错又简单易学。 例1 已知sinx+cosx+ π 6( )= 4 5 ,则 sinx+ 4π 3( ) 的值是 。 解:由题意可得,sinx+cosx+ π 6( )= 1 2sinx+ 3 2cosx 。由于 1 2 ,3 2 æ è ç ö ø ÷ 在第一象 限,tanφ= 3,所以引入辅助角φ= π 3 ,进而 可得sinxcos π 3+cosxsin π 3=sinx+ π 3( )= 4 5 ,所以sinx+ 4π 3( )=-sinx+ π 3( )=- 4 5 。 评析:在寻找角的过程中,一定要找“同 一个角”的正弦值和余弦值。 练习 1:函 数 f(x)=2sinxcosx- 23cos2x的最小正周期是 。 提示:f(x)=2sinxcosx-23cos2x= sin2x- 3cos2x- 3。由于点(1,- 3)在 第四象限,且tanφ=- 3,所以引入辅助角 φ=- π 3 ,所以函数f(x)=2sin2x- π 3( )- 3。故函数的周期是 2π 2=π 。 二、辅助角公式中“φ”的运用 对于辅助角“φ”,一方面要注重研究其来 源,另一方面要把握辅助角与原生角的范围 关系,确定其大致范围,可以更好地掌握和使 用公式。 例2 当x=θ时,函数f(x)=sinx- 2cosx 取得最大值,则cosθ= 。 解:函 数 f(x)=sinx-2cosx= 5 5 5sinx- 25 5cosx æ è ç ö ø ÷。令 cosφ= 5 5 , sinφ= 25 5 ,则f(x)= 5sin(x-φ)。 当x-φ=2kπ+ π 2 ,k∈Z,即x=2kπ+ π 2+φ ,k∈Z时,f(x)取最大值,此时θ= 2kπ+ π 2 +φ ,k ∈ Z,所 以 cosθ = cos2kπ+ π 2+φ( )=-sinφ=- 25 5 。 评析:解答本题的关键是利用正弦函数 的性质寻求辅助角与原生角的范围关系。 练习2:已知sinα+ 2cosα= 3,则 tanα的值为 。 提示:由 题 意 得 sinα+ 2cosα= 3sin(α+φ)= 3,即sin(α+φ)=1,其中φ 是第一象限角,且tanφ= 2,所以α+φ= 2kπ+ π 2 (k∈Z),即α=2kπ+ π 2-φ (k∈Z), 所以tanα=tan2kπ+ π 2-φ( )= 1 tanφ = 2 2 。 作者单位:江西省赣州市宁都县宁都中学 (责任编辑 郭正华) 71 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年1月