7.3.1正弦函数的性质与图象-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦函数的性质及图象 知识梳理 一．正弦函数的定义 正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 二．正弦函数的性质 1.定义域与值域 的定义域为R，值域为. 2.奇偶性 由诱导公式，可知正弦函数为奇函数，其图象关于原点中心对称. 3．正弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. 4.单调性 一般地，正弦函数在区间上递增，在上递减. 5.正弦函数的零点 正弦函数y＝sin x的零点是. 三．正弦函数的图象 正弦函数的图象，如图所示. 1.一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是：，，，，。y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像. 2.正弦函数y＝sin x的图像对称轴为，对称中心为，其中k∈Z. 常见考点 考点一 正弦函数的图像 典例1．根据函数的图像，可得方程的解为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】 结合正弦函数的图象和正弦函数的性质即可求出结果. 【详解】 由题意和正弦函数的图象可知，可得（）. 故选: B. 变式1-1．函数与图像交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 作出直线与函数在上的图象，观察图形即可得解. 【详解】 作出函数在上的图象，并作出直线，如图： 观察图形知：函数在上的图象与直线有两个公共点， 所以函数与图像交点的个数为2. 故选：C 变式1-2．方程的实数根的个数是 A．1 B．2 C．3 D．无穷多 【答案】C 【分析】 作出函数与的图像观察图像交点个数即可. 【详解】 解析:在同一直角坐标系中作出函数与的图像,由图可以看出两函数图像有3个交点,即有3个实数根. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数图像的应用，将方程的根的个数问题转化为图像的交点个数问题是本题的关键，是基础题. 变式1-3．函数与函数的图象关于（ ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】 根据两个函数的解析式的特征进行判断即可 【详解】 设，， 所以有， 因此两个函数的图象关于轴对称， 故选：A 【点睛】 本题考查了两个函数的对称性，属于基础题. 考点二 解正弦不等式 典例2．在内，不等式的解集是（ ） A．(0，π) B． C． D． 【答案】C 【分析】 先作出正弦图象y＝sin x，，结合的根为 或，即得不等式的解集. 【详解】 画出y＝sin x，的草图如下． 内，令，解得或， 结合图象可知不等式的解集为． 故选：C． 变式2-1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将不等式转化为，利用正弦函数求解. 【详解】 不等式，即为， 解得， 因为， 所以， 所以不等式的解集是 故选：D 变式2-2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据对数函数定义域的求法得到，再利用三角不等式的解法求解. 【详解】 若函数有意义， 则， ， 所以函数的定义域为. 故选：C 【点睛】 本题主要考查函数定义域的求法以及三角不等式的解法，属于基础题. 变式2-3．在内，不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】 解：在[0，2π]内， 若sinx，则x， 即不等式的解集为（，）， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题． 考点三 含正弦函数的定义域与值域 典例3．函数的定义域是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由，解三角不等式可得答案 【详解】 解：由题意得，即， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：B 变式3-1．若函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由被开方式非负，解三角不等式可得答案 【详解】 由题意，得， 则． 故选：B． 变式3-2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 明确函数的单调性，根据最高点与最低点确定最值，从而得到值域. 【详解】 由可知：单增区间为，单减区间为， 最大值为：，最小值为：， ∴函数的值域是， 故选：D 【点睛】 本题考查正弦函数的值域，属于基础题. 变式3-3．函数的最小值为（ ） A．2 B．－1 C．－2 D．5 【答案】B 【分析】 由于，即可求出，由此即可求出结果. 【详解】