上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷

上海市虹口区2022届高三数学一模试卷 一、填空题 1．已知集合，，则　 　. 2．已知是方程的解，则实数的值为　 　. 3．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝　 　. 4．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则　 　. 5．圆的半径等于　 　. 6．在 的展开式中，常数项等于　 　.（结果用数值表示） 7．已知角，，是的三个内角，若，则该三角形的最大内角等于　 　（用反三角函数值表示）. 8．已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则　 　. 9．已知抛物线的焦点为，，为此抛物线上的异于坐标原点的两个不同的点，满足，且，则　 　. 10．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为　 　. 11．已知实数，满足：，则的取值范围是　 　. 12．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为　 　. 二、单选题 13．设：实数满足，：实数满足，那么是的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（　　） A． B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点 15．设等差数列的前项和为，如果，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 16．已知，复数（其中i为虚数单位）满足，给出下列结论：①的取值范围是；②；③的取值范围是；④的最小值为2；其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．如图，在直三棱柱中，已知，，. （1）求四棱锥的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18．在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标. （1）如果，，求的值（用表示）； （2）如果，求的值. 19．某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为（单位：万元），补助款为（单位：万元），其中为常数. （1）分别判断，时，是否符合发放方案规定，并说明理由； （2）若函数符合发放方案规定，求的取值范围. 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点. （1）若直线的倾斜角为时，求的值； （2）若点在第一象限，满足，求的值； （3）在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 21．已知集合，.中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，为数列的前项的和. （1）求； （2）如果，，求和的值； （3）如果，求（用来表示）. 上海市虹口区2022届高三数学一模试卷 一、填空题 1．已知集合，，则　 　. 【答案】 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】, 。 故答案为：。 【分析】利用已知条件结合对数函数的图象和定义域，进而求出对数函数的值域，从而求出集合B，再利用并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。 2．已知是方程的解，则实数的值为　 　. 【答案】4 【考点】二阶矩阵 【解析】【解答】方程为，因为是方程的解，所以， 解得。 故答案为：4。 【分析】利用方程为结合是方程的解，再结合代入法，从而求出实数a的值。 3．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝　 　. 【答案】-1 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】【解答】∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3， 又因为f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1。 故答案为：-1。 【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，进而找出满足要求的实数的值。 4．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则　 　. 【答案】 【考点】等比数列的前n项和；数列的极限 【解析】【解答】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且， ∴且， ，则。 故答案为：。 【分析】利用已知条件结合等比数列前n项和公式，再结合函数求极限的方法和公比的取值范围，进而求出公比的值。 5．圆的半径等于　 　. 【答案】 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】由圆，可化为， 所以圆的半径为。 故答案为：。 【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆的半径。 6．在 的展开式中，常数项等于　 　.（结果用数