专题1.19 平行线几何模型-铅笔头模型（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.19 平行线几何模型-铅笔头模型（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型 图二 几何模型2：多个铅笔头模型 证明思路参考几何模型1 1、如图1，四边形为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）． 【分析】 （1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 解：（1）过E作EH∥AB（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴AB∥CD， 又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH， ∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【点拨】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 2、如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，A140，C165． （1）求B的度数； （2）当D °时，AB∥DE？为什么？ 【答案】（1）°；（2）140° 【分析】 （1）过点B作BM∥AF，则BM∥AF∥CD，A140，C165，进而即可求解； （2）延长AB，DC交于点N，由∠ABC=55°，CD165,得∠C=40°，结合AB∥DE，即可得到答案． 解：（1）过点B作BM∥AF， ∵AF∥CD， ∴BM∥AF∥CD， ∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°， ∵A140，C165， ∴B=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140-165°． （2）延长AB，DC交于点N， ∵∠ABC=55°， ∴∠NBC=125°， ∵CD165, ∴∠C165125°=40° 若AB∥DE，则∠D=180°-40°=140°． 故答案是：140° 【点拨】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 3、如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数. 【答案】. 【分析】 先设，，由题意的，，题意得到；由侧M图知，. 解：设，， 与的角平分线相交于点， ，， 由笔尖图知，， 即，， 由侧M图知，. 【点拨】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设，， 并由题意得到x，y的关系式. 4、问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数． （1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据． 如图2，过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ） 所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ） 因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°， ∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°． 问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或 【分析】 （1）根