专题01 平行线（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学七年级下期末专题突破

专题01 平行线 专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．（2023春•鄞州区期末）如图，下列四组图形中，每两个“F”之间属于平移变换的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022春•江北区期末）如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠C与∠1是内错角 B．∠2与∠3是内错角 C．∠A与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角 3．（2023春•新昌县期末）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 4．（2023春•温州期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 5．（2023春•路桥区期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 6．（2023春•榕城区期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 7．（2023春•宁波期末）如图直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列条件能证明l1∥l2的是（　　） A．∠1＝60°，∠2＝59° B．∠2＝59°，∠4＝60° C．∠2＝59°，∠3＝121° D．∠1＝60°，∠4＝60° 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 9．（2023春•路桥区期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 10．（2023春•上虞区期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　） ①∠1+2∠2+∠3＝180°；②如果BC∥DA，则有∠2＝45°； ③如果∠3＝60°，则有AC∥DE；④如果∠1+∠3＝90°，则有∠4＝45°． A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 二.填空题 11．（2023春•德清县期末）如图，已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交，若∠1＝63°，则∠2的度数为 　　°． 12．（2023春•江北区校级期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数是 　　． 13．（2023春•海曙区校级期末）如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G．AB＝9cm，BF＝3cm，AG＝5cm，则图中阴影部分的面积为 　　． 14．（2023春•镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，∠DAB＝78°，AC平分∠BAE，则∠ACB＝　　度． 15．（2023春•上虞区期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4＝　　度． 16．（2023春•杭州期末）如图，∠B+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC＝5：2，则∠D的度数是 　　． 17．（2023春•衢江区期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏CD∥AE，此时∠ABC+∠BCD＝　270　°． 三．解答题 18．（2023春•金东区期末）如图，直线EF分别交直线AB，CD于点E，点F，∠1+∠2＝180°，EG平分∠BEF交CD于点G． （1）求证：AB∥CD． （2）若∠1＝68°，求∠EGF的度数． 19．（2022春•海曙区期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 20．（2023春•西湖区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，EF∥AB． （1）求证：DE∥BC； （2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1． 21．（2023春•萧山区期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2＝180°． （1）试问∠AFE与∠ABC相等吗？请说明理由； （2）若∠D＝2∠AEF，∠1＝136°，求∠D的度数． 22．（2023秋•拱墅区期末）如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°． 判断AB，CD是否平行，并说明理由． 23．（2021春•嘉兴期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°． （1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数． 24．（2023春•浦江县期末）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°． （1）如图1，∠BAH＝40°，则： ①∠FDB＝　　°； ②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝　　°． （2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数； （3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝　　°（用含n的式子表示）． 25．（2023秋•金东区期末）如图，三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上，其中∠A＝60°，∠B＝30°． （1）如图①，若∠APC＝40°，求∠BPD的度数． （2）如图②，若AB∥CD，PN平分∠BPD，求∠APN的度数． （3）在（1）的条件下，将三角尺ABP绕点P以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转t秒（0＜t≤50）后得到三角尺A′B′P，如图③，当时，求t的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线 专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．（2023春•鄞州区期末）如图，下列四组图形中，每两个“F”之间属于平移变换的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平移的性质作答即可． 【解析】解：四组图形中，每两个“F”之间属于平移变换的是． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的大小和方向是解题的关键． 2．（2022春•江北区期末）如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠C与∠1是内错角 B．∠2与∠3是内错角 C．∠A与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角 【思路点拨】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到A、C、D是正确的，∠2与∠3是邻补角，不是内错角． 【解析】解：A、∠C与∠1是内错角，故本选项正确； B、∠2与∠3是邻补角，故本选项错误； C、∠A与∠B是同旁内角，故本选项正确； D、∠A与∠3是同位角，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单． 3．（2023春•新昌县期末）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 【思路点拨】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【解析】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 4．（2023春•温州期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【思路点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【解析】解：A、∠1与∠D是同位角，故A不符合题意； B、∠2与∠D是同旁内角，故B符合题意； C、∠3与∠D是内错角，故C不符合题意； D、∠4与∠D不是同旁内角，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 5．（2023春•路桥区期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 【思路点拨】证明AD＝BE，可得结论． 【解析】解：∵AB＝DE， ∴AD＝BE＝4， ∵AE＝13， ∴BD＝13﹣4﹣4＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 6．（2023春•榕城区期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【思路点拨】分别根据线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义判断即可． 【解析】解：A．两点之间，线段最短，故A不符合题意． B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意． C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意． D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义，能熟记知识点是解此题的关键． 7．（2023春•宁波期末）如图直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列条件能证明l1∥l2的是（　　） A．∠1＝60°，∠2＝59° B．∠2＝59°，∠4＝60° C．∠2＝59°，∠3＝121° D．∠1＝60°，∠4＝60° 【思路点拨】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解析】解：∵∠1＝60°，∠2＝59°， ∴∠1≠∠2， ∴不能证明l1∥l2，故不符合题意； ∵∠2＝59°，∠4＝60°， ∴∠2≠∠4， ∴不能证明l1∥l2，故不符合题意； ∵∠2＝59°，∠3＝121°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴l1∥l2，故符合题意； ∵∠1＝60°，∠4＝60°，∠1与∠4是对顶角， ∴不能证明l1∥l2，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【思路点拨】利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项． 【解析】解：①∵∠1＝∠2， ∴AB∥DC，本选项符合题意； ②∵∠3＝∠4， ∴AD∥CB，本选项不符合题意； ③∵∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD，本选项符合题意； ④∵∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥CB，本选项不符合题意． 则符合题意的选项为①③． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 9．（2023春•路桥区期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【思路点拨】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解． 【解析】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°， ∴∠5＝30°， ∴∠2＝∠4+∠5＝60°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 10．（2023春•上虞区期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　） ①∠1+2∠2+∠3＝180°； ②如果BC∥DA，则有∠2＝45°； ③如果∠3＝60°，则有AC∥DE； ④如果∠1+∠3＝90°，则有∠4＝45°． A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【思路点拨】根据三角板中的角度进行计算可得∠CAB+∠DAE＝180即可判断①，根据平行线的性质可得∠3＝∠B，进而可得∠2＝45°，即可判断②，根据∠3＝60°，可得∠1＝60°，进而根据内错角相等即可判断③，根据题意可得∠3＝45°，进而可得AD∥BC，则∠4＝30°，即可判断④． 【解析】解：∵∠CAB+∠DAE＝180， ∴∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，即∠1+2∠2+∠3＝180°，故①正确； ∵BC∥DA， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝45°，故②正确； ∵∠3＝60°， ∴∠2＝90°﹣60°＝30°，∠1＝90°﹣∠2＝60°， ∴∠E＝∠1， ∴AC∥DE，故③正确； ∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3＝45°， ∴∠3＝∠B， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠D＝30°，故④错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角板角度的计算，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 二.填空题 11．（2023春•德清县期末）如图，已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交，若∠1＝63°，则∠2的度数为 　117　°． 【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等以及平角的定义即可得到答案． 【解析】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠1＝∠3＝63°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣63°＝117°． 故答案为：117． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键． 12．（2023春•江北区校级期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数是 　55°　． 【思路点拨】先根据两直线平行的性质，得到∠3＝∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数． 【解析】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝65°， ∴65°+60°+∠3＝180°， ∴∠3＝55°， ∴∠2＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 13．（2023春•海曙区校级期末）如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G．AB＝9cm，BF＝3cm，AG＝5cm，则图中阴影部分的面积为 　　． 【思路点拨】∠F是直角，BF是梯形的高，根据AB的长度求出BG的长度，利用梯形的面积公式求出． 【解析】解：∵AB＝DF，AB＝9cm， ∴DF＝9cm，BG＝AB﹣AG＝9﹣5＝4（cm）， 又∵BF是梯形的高， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，确定DF的长度，利用直角三角形的性质，确定BF为高是解题的关键． 14．（2023春•镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，∠DAB＝78°，AC平分∠BAE，则∠ACB＝　51　度． 【思路点拨】根据平角的定义及角平分线定义求出∠EAC＝51°，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【解析】解：∵∠DAB+∠EAB＝180°，∠DAB＝78°， ∴∠EAB＝102°， ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠EAB＝51°， ∵DE∥BC， ∴∠ACB＝∠EAC＝51°， 故答案为：51． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 15．（2023春•上虞区期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4＝　115　度． 【思路点拨】先运用对顶角相等和等量代换得到∠2＝∠5，即l1∥l2，然后利用两直线平行，同位角相等可以得到∠3＝∠6，再利用邻补角的定义求出∠4即可． 【解析】解：如图，∵∠1＝∠5，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠5， ∴l1∥l2， 又∵∠3＝65°， ∴∠3＝∠6＝65° ∴∠4＝180°﹣∠6＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，对顶角性质，邻补角定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 16．（2023春•杭州期末）如图，∠B+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC＝5：2，则∠D的度数是 　100°　． 【思路点拨】由于∠B+∠DCB＝180°，得AB∥CD，故∠D+∠DAB＝180°．根据角平分线的定义，∠DAB＝2∠DAC．再根据∠D：∠DAC＝5：2，可求得∠D． 【解析】解：∵∠B+∠DCB＝180°， ∴AB∥CD． ∴∠D+∠DAB＝180°． 设∠D＝5x，则∠DAC＝2x． ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAB＝2∠DAC＝2•2x＝4x． ∵AB∥CD， ∴∠D+∠DAB＝180°． ∴5x+4x＝180°． ∴x＝20°． ∴∠D＝5x＝5×20＝100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键． 17．（2023春•衢江区期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱BA垂直地面AE于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏CD∥AE，此时∠ABC+∠BCD＝　270　°． 【思路点拨】过点B作BF∥AE，根据平行线的性质可得∠BCD+∠CBF＝180°，根据BA⊥AE得出∠BAE＝90°，则∠ABF＝90°，最后根据∠ABC+∠BCD＝∠BCD+∠CBF+∠ABF即可求解． 【解析】解：过点B作BF∥AE， ∵CD∥AE， ∴BF∥AE∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠BCD+∠CBF+∠ABF＝180°+90°＝270°． 故答案为：270． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补． 三．解答题 18．（2023春•金东区期末）如图，直线EF分别交直线AB，CD于点E，点F，∠1+∠2＝180°，EG平分∠BEF交CD于点G． （1）求证：AB∥CD． （2）若∠1＝68°，求∠EGF的度数． 【思路点拨】（1）根据邻补角定义推出∠2＝∠BEF，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据邻补角定义、角平分线定义推出∠BEG＝56°，根据平行线的性质即可得解． 【解析】（1）证明：∵∠1+∠BEF＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠BEF， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠1+∠BEF＝180°，∠1＝68°， ∴∠BEF＝112°， ∵EG平分∠BEF交CD于点G， ∴∠BEG＝∠BEF＝56°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠BEG＝56°． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 19．（2022春•海曙区期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA． （2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数． 【解析】解：（1）GD∥CA． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴GD∥CA； （2）∵GD∥CA， ∴∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠BDG＝∠2＝40°， ∵GD∥CA， ∴∠A＝∠BDG＝40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 20．（2023春•西湖区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，EF∥AB． （1）求证：DE∥BC； （2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1． 【思路点拨】（1）由EF∥AB，得到∠ADE＝∠3，等量代换可知∠ADE＝∠B，由此可证明DE∥BC； （2）由两直线平行，得到∠1＝∠ADC，根据∠2+∠ADC＝180°，∠2＝4∠B即可求得∠1的度数． 【解析】证明：（1）∵EF∥AB（已知）， ∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠ADE（等量代换）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE， ∵∠2＝4∠B， ∴∠2＝4∠ADE， ∵∠2+∠ADC＝180°， ∴4∠ADE+2∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠ADC＝60°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的性质和角平分线的性质是解题关键． 21．（2023春•萧山区期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2＝180°． （1）试问∠AFE与∠ABC相等吗？请说明理由； （2）若∠D＝2∠AEF，∠1＝136°，求∠D的度数． 【思路点拨】（1）由平行线的性质可得∠1+∠CBE＝180°，结合∠1+∠2＝180°即可得出内错角相等，进而得出EF∥BC； （2）由平行线的性质可得∠D＝∠AEB，根据题意求出∠2的度数即可解答． 【解析】解：（1）∠AFE与∠ABC相等，理由如下： ∵CD∥BE， ∴∠1+∠CBE＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠CBE（同角的补角相等）， ∴EF∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴∠AFE＝∠ABC （两直线平行，同位角相等）， （2）∵CD∥BE， ∴∠D＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠2+∠AEF，∠D＝2∠AEF， ∴∠2＝∠AEF，即∠D＝2∠2， ∵∠1＝136°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝44°，即∠D＝88°． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键． 22．（2023秋•拱墅区期末）如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°． 判断AB，CD是否平行，并说明理由． 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，从而可得∠BAC+∠ACD＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，即可解答． 【解析】解：AB∥CD， 理由：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD， ∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝2∠1+2∠2＝180°， ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 23．（2021春•嘉兴期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°． （1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC； （2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果． 【解析】解：（1）DF∥AC． 理由：∵∠DEB＝100°， ∴∠AEF＝∠DEB＝100°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠AEF+∠BAC＝180°， ∴DF∥AC； （2）∵DF∥AC， ∴∠BFD＝∠C， ∵∠ADF＝∠C， ∴∠BFD＝∠ADF， ∴AD∥BC， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°， ∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°， ∴∠B＝40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键． 24．（2023春•浦江县期末）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°． （1）如图1，∠BAH＝40°，则： ①∠FDB＝　50　°； ②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝　15　°． （2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数； （3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝　　°（用含n的式子表示）． 【思路点拨】（1）过点B作BN∥FG，得∠FDB+∠BAH＝90°，①由∠BAH＝40°求∠FDB；②由角平分线的定义求∠IDG和∠IAK，记AI与直线FG交于点M，由△DMI的外角性质求∠I； （2）设∠FDB＝α，利用（1）中的思路用含有α的式子表示角，根据∠I的大小列出关于α的方程，解方程求出∠FDB的大小； （3）根据比例关系和（2）中思路表示出∠I． 【解析】解：（1）①如图，过点B作BN∥FG，则BN∥HK， ∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN， ∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°， ∵∠BAH＝40°， ∴∠FDB＝50°， 故答案为：50°； ②记AI与直线FG的交点为M， ∵∠FDB＝50°， ∴∠CDG＝∠FDB＝50°， ∵∠BAH＝40°，∠BAC＝60°， ∴∠CAK＝80°， ∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I， ∴∠IDG＝25°，∠IAK＝40°， ∵FG∥HK， ∴∠DMA＝∠IAK＝40°， ∵∠DMA是△DMI的外角， ∴∠I＝∠DMG﹣∠IDG＝40°﹣25°＝15°， 故答案为：15°； （2）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAK＝α+30°， ∵点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3， ∴∠IDG＝，∠IAK＝（α+30°）， ∵FG∥HK， ∴∠DMA＝∠IAK＝（α+30°）， ∵∠I＝35°， ∴35°+＝（α+30°）， ∴α＝50°； （3）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∠CAK＝α+30°， ∵∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n， ∴∠IDG＝，∠IAK＝， ∵FG∥HK， ∴∠DMA＝∠IAK＝， ∴∠I＝∠DMA﹣∠IDG＝﹣＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，正确理解并应用角平分线的定义和n等分线的定义是解决本题的关键． 25．（2023秋•金东区期末）如图，三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上，其中∠A＝60°，∠B＝30°． （1）如图①，若∠APC＝40°，求∠BPD的度数． （2）如图②，若AB∥CD，PN平分∠BPD，求∠APN的度数． （3）在（1）的条件下，将三角尺ABP绕点P以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转t秒（0＜t≤50）后得到三角尺A′B′P，如图③，当时，求t的值． 【思路点拨】（1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到∠A＝∠APC＝60°，由PN平分∠BPD得到∠BPN＝15°，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【解析】解：（1）∵∠APC＝40°，∠APB＝90°， ∴∠BPD＝180°﹣∠APB﹣∠APC＝50°； （2）∵AB∥CD， ∴∠A＝∠APC＝60°， ∵PN平分∠BPD， ∴， ∴∠APN＝∠APB+∠BPN＝90°+15°＝105°； （3）由得 当0＜t＜10时，， 解得，t＝50（舍）； 当10＜t＜18时，， 解得，； 当18≤t≤46时，， 解得t＝50（舍）； 当46＜t≤50时，， 解得，， 综上所述，或． 【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$