专题1.16 平行线几何模型-M模型（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.16 平行线几何模型-M模型（知识讲解） 几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一 几何模型2：鸡翅模型 图三 几何模型3：折鸡翅模型 图四 几何模型4：多个M型模型 证明思路参考几何模型1 例题讲解： 1．如图，若，则，你能说明为什么吗？ 【分析】过作，利用两直线平行，内错角相等来证明． 解：过作， 则， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过点作的平行线，利用平行线的性质来证明． 2．（1）如图1，已知，，求证： （2）如图2，已知，，，求证： 【分析】 （1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合 可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论； （2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论． （1）证明：如图：延长BF、DC相较于G ∵AB//CD ∴∠ABF=∠G ∵ ∴∠DCE=∠G ∴BG//CE ∴； （2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y， ∵AB//CD， ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180° ∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y）， ∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE） =180°-[80°-（4x+4y）] =4x+4y =4（x+y） ∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA） =180°-[180°-（3x+3y））] =3x+3y =3（x+y）， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键． 3．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接． （1）在图（1）中，与有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B 【分析】 （1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论． 解答：（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º； （2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC， ∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC， 即∠B+∠C=∠A； （3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF， ∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º， 即∠B+∠A+∠C=360º； （4）如图（4），设BE与AC相交于D， ∵与平行， ∴∠C=∠ADE， ∵∠ADE=∠A+∠B， ∴∠A+∠B=∠C； （5）如图（5），设CF与AB相交于D， ∵与平行， ∴∠B=∠ADF， ∵∠ADF=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键． 4．问题情境：如图1，已知，．求的度数． 经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________． 问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，． （1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系， 问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________． 【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-