寒假作业十八 三角恒等变换-【我的假期我做主】2022年新教材高一数学（人教A版）寒假作业

　　数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠．—— ( ) 寒假作业十八　三角恒等变换 知识梳理 １．cosαcosβ－sinαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ　sinαcosβ＋cosαsinβ ２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α　１＋cos２α２ 　 １－cos２α ２ 　 ２tanα １－tan２α 学业测评 １．C　sin１６２°cos７８°＋cos１６２°sin７８°＝sin(１６２°＋７８°) ＝sin２４０°＝sin(１８０°＋６０°)＝－sin６０°＝－ ３２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ———考特 ４５ ２．B　sin α＋ π４( ) ＝５sin α－ π ４( ) ,所以sinα＋cosα＝５(sinα－cosα), 整理得４sinα＝６cosα,故tanα＝sinαcosα＝ ３ ２ ． ３．AB　对于 A,cos３６°cos７２°＝２sin３６°cos３６°cos７２°２sin３６° ＝ ２sin７２°cos７２° ４sin３６° ＝sin１４４°４sin３６°＝ １ ４ ,故 A正确; 对于B,sin π１２sin ５π １２＝sin π １２cos π １２＝ １ ２ 􀅰２sin π１２cos π １２＝ １ ２sin π ６ ＝ １ ４ ,故B正确; 对于 C,原式＝cos５０°＋ ３sin５０°sin５０°cos５０° ＝ ２ ３ ２sin５０°＋ １ ２cos５０°( ) １ ２sin１００° ＝ ２sin８０°１ ２sin１００° ＝ ２sin８０°１ ２sin８０° ＝４,故 C错误; 对于 D,１３ － ２ ３cos ２１５°＝－ １３ (２cos２１５°－１)＝－ １３cos３０°＝－ ３ ６ , 故 D错误． ４．B　由题意可得tanα＋tanβ＝－３ ３,tanαtanβ＝４; 所以tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝－３ ３１－４ ＝ ３ ; 因为α,β∈ － π ２ ,π ２( ) ,tanα＋tanβ＝－３ ３＜０, tanαtanβ＝４＞０, 所以α,β∈ － π ２ ,０( ) ,所以α＋β∈ －π,０( ) ． 因为tan(α＋β)＝ ３,所以α＋β＝－ ２π ３ ． ５．AD　sin ２α－３π５( ) ＝－sin ２α＋ ２π ５( ) ＝ －２sin α＋ π５( )cos α＋ π ５( ) ． 由cos α＋ π５( ) ＝ ３ ５ ,得sin α＋ π５( ) ＝± ４ ５ ． 所以sin ２α＋２π５( ) ＝± ２４ ２５ ,即sin ２α－３π５( ) ＝ －sin π－ ２α＋２π５( )[ ] ＝－sin ２α＋ ２π ５( ) ＝± ２４ ２５． ６．D　∵大正方形的面积为２２５,小正方形的面积为９, ∴大正方形的边长为１５,小正方形的边长为３． 设四个全等的直角三角形的长直角边为x,则短直角边为x－３． 由勾股定理得x２＋(x－３)２＝１５２,解得x＝１２(舍负), α为直角三角形较小的锐角,所以sinα＝ ３５ ,cosα＝ ４５ , ∴sin２α＝２sinαcosα＝２４２５． ７．解析:由已知sinα＝ ４５ ,cos(α＋β)＝ ５ １３ ,且α,β是锐角, 则cosα＝ ３５ ,sin(α＋β)＝ １２ １３ , 又sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝１２１３× ３ ５ － ５ １３× ４ ５ ＝ １６ ６５ , 所以sinβ＝ １６ ６５． 答案:１２ １３　 １６ ６５ ８．解析:原式＝cos４０°＋sin３０°sin１０°sin４０°－cos３０°sin１０° ＝cos (３０°＋１０°)＋sin３０°sin１０° sin(３０°＋１０°)－cos３０°sin１０° ＝cos３０°cos１０°－sin３０°sin１０°＋sin３０°sin１０°sin３０°cos１０°＋cos３０°sin１０°－cos３０°sin１０° ＝cos３０°cos１０°sin３０°cos１０°＝ ３ ２ １