第6讲 等差数列与等比数列江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

一：等差数列 1.判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：（常数）是等差数列； ②中项公式法：是等差数列； ③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列； ④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列. 对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性. 2.等差数列的有关性质： （1）通项公式的推广： （2）若，则； 特别，若，则 （3）等差数列中，若（），则. （4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列. （5）等差数列，前n项和为 ①当n为奇数时，；；； ②当n为偶数时，；；. （6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）. （7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则. （8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差. 3.等差数列前n项和的最值问题： 等差数列中 ①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n； ②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n. 等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点二 ：等比数列 1.判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列； （2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列； （3）中项公式法：（，）是等比数列. 2.等比数列的主要性质： （1）通项公式的推广： （2）若，则. 特别，若，则 （3）等比数列中，若（）成等比数列，则成等比数列. （4）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列. （5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，. （6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列. （7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列. （8）等比数列前n项积为，则 3.等比数列的通项公式与函数： ⑴方程观点：知二求一； ⑵函数观点： ①，时，是关于n的指数型函数； 时，是常数函数； ②当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列； 当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列； 当时，等比数列是摆动数列； 当时，等比数列是非零常数列. 要点三 ：等差等比数列综合问题 1.公共项问题; （1）求