第5讲平面向量江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

1.叫做在方向上的投影； 叫做在方向上的投影。 ·的几何意义：数量积·等于的长度与在方向上的投影 的乘积 2.向量处理方法：（建系、几何大法、巧换基底） 3.向量的插点： 4.三点共线 5.点是内任一点，则有： 点在外时，面积有正负，但等式仍成立 6.可以进行合情推理，空间中也有 点是四面体内任一点，则有： 7.内各种心的向量关系 利用第5点结论有： 1）是重心： 2）是内心： 3）是外心：， 另有，， 4）是垂心：， 例1.（2019江苏夏令营）设为的外心，满足，若，则面积的最大值为_________________. 解析：， 令，，则， 所以三点共线，此时，如图所示， 不妨设， ，，则在中，， 在中，由余弦定理得，得， 又 当且仅当，取得等号。 故填。 例2.（2019年贵州预赛）在中，,, 则____________. 解析：由题意知，分别是中点且，所以，可得，故 . 例3.已知分别为的三个内角的对边，，且，为内的一点，且满足，，则 。 解析：由，及得： ，所以，。 由得为的重心，为的中点， 解法一：在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得，即② 由①：②得，所以。 解法二：由于为的重心，为的中点，由不漏油的奔驰定理可得，即代入数据可得。 解法三：由，得， 由平面向量基本定理，记，， 则， 在中，， 由正弦定理得：，即，解得。 解法四：由，，，得， 由，得，设，，则 ， 即， 消去得，即。 解法五：建立如图所示坐标系： 由，，，， 得，，设， 则， 由得，即 ，两边平方解得， 所以。 例4.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上．若△ABC的面积为2，则的最小值是_____． 解法一 如图，设，，．则 ． ∴ ． 解法二 设△PBC中点P，B，C所对的边分别为．由题设知， ∴ ．设 ，则 ， 即 ．此时 的最小值为． 解法三 如图建立平面直角坐标系，过点P作PD垂直BC于D， 则设，，． 例5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是 （ ） A. B. 其中是抛物线过的切线 C. D. 解析;B提示： ，即，亦有。 例6.在凸四边