第4讲三角函数江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

一． 两角和、差的三角公式： 1.正弦： 2.余弦： 3.正切： 二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 ， 三．二倍角公式： 1.余弦： 2.正弦：、 （3）正切： 四．辅助角公式： ►注意：有实数解 五．半角公式（万能公式）： , , 六．正弦定理： （为三角形外接圆的半径） 七．余弦定理： 八．三角形面积公式： 三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下： 1． 三倍角公式： ， ， 。 ►注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，，。显然，（舍去负根）。 2． 常见三角不等式：1.若，则； 2.若，则. 3.. 三．和差化积与积化和差公式： 和差化积 积化和差 四．三角形中的一些三角恒等式：在中， ①； ②； ③； ④； ⑤；⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩。 以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。 ►注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。 五．三角恒等式： 1. （2018中科大）2.已知，则 答案： 【解析】 2. (2018清华)18.的值为（ D ） A. B. C. D. 解析： ，故选D 3. (2017北大自招)4.的值为（ B ） A. B. C. D.前三个都不对 解析： ，故选B 4. (2017北大博雅)5.的值为（ B ）. A. B. C. D. 前三个答案都不对 解析： （积化和差） 故选B。 5. (2017北大博雅)18.已知，则的最大值为（ A ）. A. B. C. D. 前三个答案都不对 解析：切化正弦，代入已知，整理得，所以或或，注意到，所以只能或，即，；选A。 6. （2012“卓越联盟”）函数的值域是 。 ►分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。 解法一：。 由故，。 解法二：令，则，再用判别式法，求得 解法三：数形结合法。 ，可看成是圆上的点到的斜率，