第3讲函数与方程江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

1． 一元二次方程有关公式 1.一元二次方程的根： 2.根与系数的关系：，（韦达定理）3.判别式：． 二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题： （1）不等式在集合上恒成立在集合上． （2）不等式在集合上恒成立在集合上． 2.函数不等式的能成立问题： （1）在集合上存在实数使不等式成立在集合上． （2）在集合上存在实数使不等式成立在集合上． 3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合上恰成立该不等式的解集为． 三．几个常见的函数方程 1.正比例函数,具有性质：. 2.指数函数,具有性质：. 3.对数函数,具有性质：. 方程的根与函数的零点： 1. 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3.零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少存在一点，使。 ►函数零点的理解： （1）函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数 （2） 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 （3）若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。二．三次方程的韦达定理：设三次方程的三个根分别是，则有 这个定理的证明并不困难，只要把式子展开，比较的同次项系数即可。 三．整系数多项式的根：若既约分数（即）为整系数多项式 的根，则。 1.（2019上海交大）3.已知方程的实根记为，（），若点，（）均在直线同侧，求实数的取值范围。 解析：等价于，又得，或， 所以或者，即或者。 2.(2018复旦)16.设方程的两个根为和，求的值； 解析：令，则方程即为，解得或。所以，， 进而。 3.(2018复旦)17.已知关于的方程有两个实根，，则其余两根为 A.相同的实根 B. 不同的实根 C. 共轭复根 D. 以上都不对 解析：把，代入得，方程即，得另外两个根为，故选C。 4.(2018北大自招)19.设实函数（），定义，（），已知方程无实根，则方程的实根个数是（ A ） A. B. C. D. 前三个答案都不对 解析：方程无实根知，恒成立