第2讲初等函数及性质-江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

1、映射 对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。 如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射. 如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射. 如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射. 如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作 2、函数方程问题 （1）代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数 例.设求的解. （【解析】分别用带入） （2）待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解. 例.已知是一次函数，且，求. （【解析】设求解） 3、函数对称性以及周期性 1）已知函数，若函数图像与图像关于： 直线对称，则； 直线对称，则； 点对称，则。 2）已知函数图像关于： 直线对称，则； 点对称，则，即。 3）常用：若函数图像与图像关于： 轴对称，则； 轴对称，则； 原点对称，则。 4）若，则图像关于直线对称； 若，则图像关于点对称； 若与关于直线对称； 5）若，则函数是以为周期的函数。 6）若，则，即； 若，则，即； 若，则，即。 7）若关于直线和对称，则为以为周期的周期函数； 若关于点和对称，则为以为周期的周期函数； 若关于点和对称，则为以为周期的周期函数。 4、抽象函数问题的解法 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。 （1）函数性质法 函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。 （2）特殊化方法 ① 在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将换成或将换成其他字母等； ② 在求函数值时，可用特殊值代入； ③ 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，