第1讲-集合与命题-江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

1.集合的差集定义：由所有属于集合A但不属于集合B的全体元素组成的集合叫做集合A对B的差集。记作（或），即且}。由此可以看出：补集只是差集的一种特殊情况。 2. 抽屉原理的基本形式 ①若有个元素放进个集合，则必存在一个集合至少放2个元素。 ②若把个元素放进个集合，则必存在一个集合至少放有个元素。 ③若把个元素放进个集合，则必存在一个集合至少放有个元素。 ④若，且，则必存在，（），使，。 ⑤若，则必存在；若，则必存在。 ⑥若把无穷集合分成有限个集合，则必存在一个子集合含有无穷个元素。 ⑦若把个元素放进个集合，则至少有2个集合的元素一样多。 ⑧若把个元素放进个集合，则至少有个集合的元素一样多。 ⑨若把个元素放进个集合，则必有一个集合至多含有个元素。 ⑩若把个面积为的平面图形放到面积为的平面图形上，并且，则至少存在两个图形有公共点。 3. 容斥原理 定理1 设A,B都是有限集，则 定理2 设A,B,C都是有限集，则 4. 极端原理 最小数原理1：设M是自然数集的一个非空子集，则M中必有最小数； 最小数原理2：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数； 推论：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最大数； 5.集合的拆分、计数及运算 例1.(2019清华)4. 若集合、是正整数集的一个二划分，则（ ） A. 集合中不存在三项等差，集合中不存在无穷项等差 B. 集合中不存在三项等比，集合中不存在无穷项等比 C. 集合中不存在三项等差，集合中存在无穷项等差 D. 集合中存在三项等比，集合中不存在无穷项等比 解析：， 取，则有无穷项等差、也有无穷项等比。故AB错，C对； 对D，取，则有无穷项等比。故D错； 综上选C。 例2.(2019清华)10. ，，是到的映射，若满足，则称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值. 解析：情形一：当只对应中1个元素时，此时“好对”有对， 情形二：当只对应中2个元素时，设有组，组，则此时 “好对”有对，且，则由柯西不等式可知：， 情形三：当只对应中3个元素时，设有组，组，组，则此时“好对”有对，且， 则由柯西不等式可知：， 依次可得：易知当对应中5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当中每3个元素对应中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45. 例3.（2019中科大）8. 已知，且，则 _____ 解析：