第11讲 圆的认识及垂径定理 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第 11讲 圆的认识及垂径定理 了解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系， 1.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系 2.理解圆的对称性及其相关性质 一、圆的定义： 1.描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”． 3.同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 2． 弦和弧 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 注意：直径是弦，但弦并不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆 半圆既不是优弧，也不是劣弧 9.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外➩d_______r 点P在圆上➩d______r 点P在圆内➩d______r 三、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 四、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 符号语言: ∵CD为直径,CD⊥AB, ∴AM=BM,AC=BC,AD=BD 满足条件 ①过圆心 ②垂直于弦 ➭ 推出结论 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 以上五个中的任意两个，，则必然具备其余三个，简称“知二推三” 推论1： ⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 解题秘籍 在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段(如图中的OD)即可。这样，把垂径定理和勾股定理结合 起来，容易得到圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式r2=d2+()2 例题1 如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ） A．5 B．10 C．12 D． B 【分析】 连结OC，根据垂径定理可得CE=DE，设OB=5m，OE=3m，根据勾股定理，列方程，解得，再求直径即可． 【详解】 解：连结OC， ∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， CD是弦， ∴CE=DE=， ∵OE∶OB＝3∶5， ∴设OB=5m，OE=3m， 在Rt△OEC中，OC=OB=5m，根据勾股定理，即， 解得， ∴或舍去， ∴OB=5， ∴AB=2OB=10． 故选择B． 【点睛】 本题考查垂径定理，勾股定理，一元二次方程，圆的直径，掌握垂径定理，勾股定理，一元二次方程，圆的直径是解题关键． 例题2 如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=__． 【分析】 过点作，由垂径定理可得，，在求得，即可求解． 【详解】 解：过点作，如下图： 则，， 在中，，，∴， 由勾股定理得，， ， 故答案为： 【点睛】 此题考查了垂径定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握垂径定理等相关性质． 例题3 如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 ___米． 26 【分析】 作，作，根据矩形的性质和垂径定理，求得、的长度，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：作，作，如下图： 则四边形为矩形，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∵，∴， 解得， ， 故半径长为米． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 例题4 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为