第12讲 圆周角与圆心角 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第 12讲 圆周角与圆心角 了解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系， 理解圆心角和圆周角的概念及其相关性质，探索圆周角和圆心角的关系 一、圆心角和圆周角 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． ①圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 例题1 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】A 【分析】 直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】 ∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°， ∴∠AOC=2∠B=150°． 故选A． 例题2 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【详解】 试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠OBC=60°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=30°．故选D. 考点：1圆周角定理；2直角三角形. 例题3 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A．60° B．45° C．35° D．30° 【答案】D 【分析】 直接根据圆周角定理求解． 【详解】 如图，连结OC， ∵， ∴∠BDC=∠AOB=×60°=30° 故选：D 【点睛】 本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 例题4 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（　　） A．64° B．58° C．72° D．55° 【答案】B 【详解】 先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论． 解：∵BC是直径，∠D=32°， ∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°． ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠B=32°， ∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°． 故选B． 例题5 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　） A．100° B．72° C．64° D．36° 【答案】C 【详解】 试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C． 例题6 如图，ABC内接于⊙O，，BD为⊙O的直径，且BD＝2，则DC＝（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据三角形内角和定理求得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长 【详解】 解： 为⊙O的直径， 在，， BD＝2， 故选C 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键． 例题7 如图，AB为的直径，C、D为上两点，，，则AB的长度为（ ） A．6 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【分析】 连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可． 【详解】 解：如图，连接AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=∠CDB=30°， ∴AB=2BC=6， 故选：A． 【点睛】 本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 1.下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等. A．1个 B．2个 C．3个