5.7数学归纳法-【练好重点题】2021-2022学年高二数学综合训练卷（人教B版2019选择性必修第三册）

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 第五章 数列 第五单元 数学归纳法 一．选择题（共8小题） 1．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝1（n∈N*），用数学归纳法证明：an＜an+1，在验证n＝1成立时，不等式右边计算所得结果是（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由题设可知：当n＝1时，不等式右边为a2＝11， 故选：C． 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明12（）时，若已假设n＝k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　） A．n＝k+1时等式成立 B．n＝k+2时等式成立 C．n＝2k+2时等式成立 D．n＝2（k+2）时等式成立 【解答】解：若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n＝k+2成立． 故选：B． 3．观察下列式子：1，1，1，…，则可归纳出1小于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知式子可知所猜测分式的分母为n+1，分子是第n个正奇数，即2n+1， ∴． 故选：C． 4．如果命题p（n）对n＝k（k∈N*）成立，则它对n＝k+2成立．若p（n）对n＝2成立，则下列结论正确的是（　　） A．p（n）对所有正整数n都成立 B．p（n）对所有正偶数n都成立 C．p（n）对所有正奇数n都成立 D．p（n）对所有自然数n都成立 【解答】解：由于命题P（n）对n＝k成立，则它对n＝k+2也成立； 又已知命题P（2）成立， 可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）、…，均成立， 即p（n）对所有正偶数n都成立． 故选：B． 5．已知n∈N*，用数学归纳法证明f（n）＝1+4+7+……+（3n﹣2）时．假设当n＝k（k∈N*）时命题成立，证明当n＝k+1时命题也成立，需要用到的f（k+1）与f（k）之间的关系式是（　　） A．f（k+1）＝f（k）+3k﹣5 B．f（k+1）＝f（k）+3k﹣2 C．f（k+1）＝f（k）+3k+1 D．f（k+1）＝f（k）+3k+4 【解答】解：∵用数学归纳法证明等式f（n）＝1+4+7+……+（3n﹣2）时， 假设n＝k时，命题成立，f（k）＝1+4+7+……+（3k﹣2）， 则当n＝k+1时，左端为f（k+1）＝1+4+7+……+（3k+2）+（3（k+1）﹣2） 需要用到的f（k+1）与f（k）之间的关系式是：f（k+1）＝f（k）+3k+1． 故选：C． 6．对于不等式n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n＝1时，1+1，不等式成立． （2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，则当n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时，不等式成立． 则上述证法（　　） A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确 【解答】解：在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设， 即从n＝k到n＝k+1的推理不正确． 故选：D． 7．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k+1时的情况，只需展开（　　） A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）3 【解答】解：n＝k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n＝k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”， 所以只需展开 （k+3）3． 故选：A． 8．用数学归纳法证明不等式：，从k到k+1，不等式左边需要（　　） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 【解答】解：n＝k时，左边， n＝k+1时，左边， 由“n＝k”变成“n＝k+1”时，变化了：， 故选：D． 二．多选题（共4小题） 9．某个命题与自然数n有关，如果当n＝k（k∈N）时命题成立，则可得当n＝k+1时命题也成立，若已知当n＝5时命题不成立，则下列说法正确的是（　　） A．当n＝4时，命题不成立 B．当n＝1时，命题可能成立 C．当n＝6时，命题不成立 D．当n＝6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n＝6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立 【解答】解：由题意可知，P（n）对n＝4成立，则n＝5也成立，与题设矛盾．所以n＝4时，命题不成立；所以A的说法正确； 如果n＝1命题成立．则n＝2命题成立，可得n＝5时，命题成立，与题设矛盾，所以B说法不正确； 当n＝6时，命题可能成立也可能不成立，如果n＝6时，命题成立，则n＝7时，命题也成立，继续推导可得对任意的n＝6时，命题都成立，所以C的