专题9.1 图形的旋转（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.1 图形的旋转（知识讲解） 【学习目标】 1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】 要点一、旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点二、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△). 特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转； 2、 只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似； 3、 旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 特别说明：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　(4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】 类型一、旋转的概念-旋转中心、旋转角、对应点 1、如图，在△ABC中，∠B＋∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 【答案】（1）旋转中心是点 旋转角；（2） 【分析】 （1）先求解 由点旋转后与自身重合可得旋转中心，由是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质可得：结合点C为AD中点，从而可得 解：（1） ∠B＋∠ACB＝30°， 所以旋转中心是点 旋转角 （2）由旋转的性质可得： 点C恰好成为AD中点， 【点拨】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，掌握“旋转中心，旋转方向，旋转角度与旋转的性质”是解本题的关键. 举一反三 【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度． 【答案】60 【分析】根据题意由旋转的性质可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠PAC+∠CAD=60°， ∴∠DAP=60°； 故旋转角度60度. 故答案为：60． 【点拨】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 【变式2】如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，ABE逆时针旋转后能够与ADF重合，旋转中心是______，旋转角为______度． 【答案】点 90 【分析】根据旋转的定义回答即可． 解：从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，是， 故答案为：点，90． 【点拨】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的三要素是解决本题的关键，注意：旋转的三要素分别为旋转中心，旋转方向，旋转角． 【变式3】如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为_____°． 【答案】82° 【分析】设∠B=x，根据旋转的旋转得CB=CD，∠CDE=∠B=x，∠A=∠E=33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得∠BCD=x+33°，接着证明∠CDB=∠B=x，则利用三角形内角和得到x+x+33°+x=180°，然后求出x后计算x+33°即可得到旋转角的度数． 解：设∠B=x， ∵△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合， ∴CB=CD，∠CDE=∠B=x，∠A=∠E=33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数， ∴∠BCD=∠CDE+∠E=x+33°， 在△BCD中，∵CB=CD， ∴∠CDB=x， ∴x+x+33°+x=180°，解得x=49°， ∴旋转角的度数为49°+33°=82°． 故答案为82°． 【点拨】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线