第20讲 三角函数公式-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第20讲 三角函数公式 【知识点总结】 1.任意角 （1）角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. （2）正角、负角、零角 按逆时针方向旋转所成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所成的角叫负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. （3）象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限. （4）终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 2. 弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 . 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③. 3. 三角函数的概念 （1）三角函数的定义 已知角终边上的任一点（非原点O），则P到原点O的距离.. （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等. ， ， ， 其中. 4. 同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 . （2）商数关系 . 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式. 5.诱导公式 （1） 公式二 ， ， . （2）公式三 ， ， . （3）公式四 ， ， . （4）公式五 ， . （5）公式六 ， . 6.常用三角恒等变形公式 和角公式 差角公式 倍角公式 降次（幂）公式 半角公式 辅助角公式 角的终边过点，特殊地，若或，则 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ） A． B． C． D． 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ） A．－12 B．－10 C．－8 D．－6 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为( ) A． B． C． D． （多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ） A． B． C． D． （多选题）例5．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，则α+2β的值为______ 例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则___________ 例8．（2022·全国·高三专题练习）若tanα=2，则的值为___________. 例9．（2022·全国·高三专题练习）已知＝，则sin2x＝________． 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三专题练习）与角终边相同的角是（ ） A．221° B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ） A．第二或第四象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 6．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ） A．84 B．63 C．42 D．21 8．（202