第17讲 数列求和-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第17讲 数列求和 【知识点总结】 求数列前项和的常见方法如下： （1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式. （2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列. （3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律. （4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. （5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式，它的前项和，则（ ） A．9 B．10 C．99 D．100 【答案】C 【详解】 数列的通项公式，则．解得． 故选：C． 例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ） A．12 B．21 C．11 D．31 【答案】B 【详解】 由题意，公差大于0的等差数列中，， 可得，即， 由，，成等比数列，可得， 即为，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式， 所以数列的前21项和为： . 故选：B. 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】 ∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…， 故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0， 故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1. 故选：C. 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________. 【答案】 【详解】 解：设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以， 所以 故答案为： 例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式. 【详解】 当 当 时满足上式，故 ； ∵=1∴ ∵ ① ∴ ② ∴①②，得 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，且满足． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和． 【详解】 （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以， 因为，所以，整理得，解得q＝2， 所以； （2）， ， 两式相减，得 所以． 例7．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，. （1）求，； （2）设，数列的前项和为.证明：. 【详解】 （1） ①②得： 令时， 满足上式 数列是为首项，为公比的等比数列. （2）证明：由①得： 又为递增数列 例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列是前项和为 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【详解】 （1）∵ 当时， 当时，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 则 . 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（ ）. A．25 B．26 C．13 D． 【答案】C 【分析】 先根据已知条件求出，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】 解：， ， 即， 设，① 则，② 则①＋②得：， 故. 故选：C. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A．100 B．105 C．110 D．115 【答案】D 【分析】 根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和. 【详解】 因为函数满足， ①， ②， 由①②可得，， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题. 3．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为 A．4033 B．-4033 C．8066 D．-8066 【答案】D 【详解】 试题分析：，所以原式. 考点：函数求值，倒序求和法. 【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即. 4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{an