课时必备练(十三) 导数的概念及运算（课时作业）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

课 时 必 备 练(十三)　导数的概念及运算 1．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1　　　　　　B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：选B　通解：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B. 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析：选D.∵ y′＝aex＋ln x＋1，∴ k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1. ∵ 已知切线方程为y＝2x＋b， ∴ 解得故选D. 3．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 解析：选C.设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴ f′(π)＝－2，∴ 曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C. 4．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 解析：选D.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　) A．1　　　B． C．　　　D． 解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝. 6．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________． 解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1. 答案：1 7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 018)＝________． 答案： 8．(高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 答案：1 9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 10．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， 所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又因为直线l过点(0，0)， 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8， 所以x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). (3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0