课时必备练(十四) 导数与函数的单调性（课时作业）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

课 时 必 备 练(十四)　导数与函数的单调性 1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：选D.由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1，故选D. 2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息： ①f′(x)＞0时，－1＜x＜2；②f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是(　　) 解析：选C.根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C. 3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　　　　　 B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D.由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞). 4．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) 解析：选A.因为f(x)＝x sin x， 所以f(－x)＝(－x)sin (－x)＝x sin x＝f(x). 所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f. 又x∈时，得 f′(x)＝sin x＋x cos x>0，所以此时函数是增函数． 所以f<f(1)<f. 所以f>f(1)>f，故选A. 5．函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：选B.由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2. 因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B. 6．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 7．(2020·全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ln x＋1. (1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围； (2)设a＞0，讨论函数g(x)＝的单调性． 解：(1)设h(x)＝f(x)－2x－c，则h(x)＝2ln x－2x＋1－c， 其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝－2. (1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减．从而当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)＝－1－c. 故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c. 所以c的取值范围为[－1，＋∞). (2)g(x)＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞). g′(x)＝＝. 取c＝－1得h(x)＝2ln x－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋ln x<0.故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－＋ln <0，从而g′(x)<0. 所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减． 8．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f ′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)f(x)≥x3＋1等价于e－x≤1. 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x. (ⅰ)若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0，2)时，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)＝1， 故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意． (ⅱ)若0<2a＋1<2，即－<a<， 则当x∈(0，2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)<0； 当x∈(2a＋1，2)时，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)单调递减，