第二章 函数概念与基本初等函数（教用Word）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第1讲　函数及其表示 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A，B是非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________． (2)函数的值域：如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)，所有函数值构成的集合{f(x)|x∈A}叫做这个函数的值域． (3)函数的三要素 函数的三要素是________、________和__________，其中________被函数的________和对应关系完全确定，所以确定一个函数只需这两个要素即可． 2．映射 设A，B是两个________的集合，如果按照某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有__________的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数的表示方法 表示函数的常用方法有：________、________、________. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 自我校对： 1．(1)数集　唯一确定　定义域　(3)定义域　值域　对应关系　值域　定义域 2．非空　唯一确定 3．解析法　列表法　图象法 4．对应关系　并集　并集 一、求函数的定义域 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________． 【解析】　由解得0≤x<1，即g(x)的定义域是[0,1)． 【答案】　[0,1) 【变式训练】 1．已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________． (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 【解】　(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2， 故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2. (2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg ，又x＞0，所以t＞1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x＞1. (3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，　① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，　② ①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 所以f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R. [方法指导] 求函数解析式的4种方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [注意]　求解析式时要注意新元的取值范围．　 【变式训练】 2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式． 一、求分段函数的函数值 (1)已知函数f(x)＝则f的值是________． 【解析】　由题意可得f＝log2＝－2， 所以f＝f(－2)＝3－2＋1＝. 【答案】　 二、已知函数值，求参数的值(或取值范围) 已知f(x)＝若f(a)＝，则a＝________. 【解析】　若a≥0，由f(a)＝得，a＝， 解得a＝； 若a∈，则|sin a|＝， 解得a＝－. 综上可知，a＝或－. 【答案】　或－ 三、与分段函数有关的方程、不等式问题 (高考山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 【解析】　当0＜a＜1时，a＋1＞1， 所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，所以a＝. 此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 当a≥1时，a＋1＞1， 所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解． 综上，f＝6，故选C. 【答案】　C [名师