第三章 导数及其应用（教用Word）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第1讲　导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率____________＝______________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝____________. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__________处的______________．相应地，切线方程为______________． 2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝________________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′. 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__________ f(x)＝sin x f′(x)＝__________ f(x)＝cos x f′(x)＝__________ f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝__________ f(x)＝ex f′(x)＝__________ f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝__________ f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)·g(x)]′＝__________； (3)′＝__________(g(x)≠0)． 自我校对： 1．(1) 　 　(2)(x0，f(x0))　切线的斜率　－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2. 3．0　nxn－1　cos x　－sin x　axln a　ex　　 4．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3) 求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x；　(2)y＝ln x＋；　(3)y＝. 【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (3)y′＝′＝ ＝－. 　[方法指导] 【变式训练】 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　) A．－e　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．e 一、求切线方程 (1)(高考全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为____________________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【解析】　(1)因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， 所以设切点为(x0，y0)． 又因为f′(x)＝1＋ln x，所以 解得x0＝1，y0＝0. 所以切点为(1,0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l的方程为y＝x－1. 【答案】　(1)y＝x＋1　(2)y＝x－1 二、已知切线方程(或斜率)求切点坐标 (2021·江西南昌一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　) A．(0,0)　　　　　　　 B．(1，－1) C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1) 【解析】由f(x)＝x3＋ax2得f′(x)＝3x2＋2ax，记y0＝f(x0)，由题可得 由①②可得x＋ax＝－x0，即x0(x＋ax0＋1)＝0.④ 由③可得3x＋2ax0＋1＝0.⑤ 由⑤可得x0≠0，所以④式可化为x＋ax0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得x0＝±1，代入②式得或 即P(1，－1)或P(－1,1)．故选D. 【答案】　D 三、已知切线方程(或斜率)求参数值 已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】　f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′ ＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex ＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex， 故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1. 因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2. 【答案】　C 四、导数与函数图象的关系 (1)(高