第13讲 基本不等式-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第13讲 基本不等式 【知识点总结】 1. 几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”). 特例：同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 【典型例题】 例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（ ） A．， B． C．， D． 例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．4 例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（ ） A．6 B．8 C．16 D．36 2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立； D．如果，，那么． 3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8 7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．10 D．16 8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．9 D．6 9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）. ①；②；③≥2；④a2＋b2≥8. 14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______ 15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________． 16．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________. 17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______． 18．