假期作业(十一) 空间直线、平面垂直的判定与性质-2022老教材高一数学寒假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业(十一)　空间直线、平面垂直的判定与性质 【知识回顾】 1．两条相交直线　a∩b＝P 2．相交　垂直　直线PA　交点　点A　垂线　垂足　斜足　AO　直角　0°的角 3．(1)两个半平面　(2)①棱　②面　(4)α­l­β　α­AB­β　P­l­Q　(5)①∈　②⊂　⊂　③⊥　⊥　∠AOB 4．(1)直二面角　(3)α⊥β　(4)垂线　l⊂β 5．平行　a∥b　 6．一个平面内　交线　垂直　a⊂α　a⊥l　①线面 【综合训练】 1．C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l. 同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. ∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC. 2．C　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角． 在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C. 3. C　如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC. ∵三棱锥的三条侧棱两两相等， ∴PA＝PB＝PC. ∵PO⊥底面ABC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， ∴OA＝OB＝OC， 故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心． 4．B　A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α. 5．C　因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.因为CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD. 6．D　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D. 7．2　因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan ∠PCA＝＝2. 8．平面与平面垂直的判定定理　如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β. 9. 　取CD的中点G，连接MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG， 所以MN＝＝. 10．[证明]　因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又ABCD是正方形，所以AB⊥BC. 因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB. 因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE. 由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE， 因为PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC. 因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB. 11. [解]　过A作AH⊥BC于H，连接PH， ∵PC⊥平面ABCD， AH⊂平面ABCD， ∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C， ∴AH⊥平面PBC. ∴∠APH为PA与平面PBC所成的角， 在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC， ∴H为BC中点，AH＝， ∵PC＝AC＝2，∴PA＝2， ∴sin ∠APH＝＝. 故PA与平面PBC所成角的正弦值为. $ 假期作业(十一)　空间直线、平面垂直的判定与性质 　 1．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言,一条直线与一个平面内的____________都垂直，则该直线与此平面垂直符号 语言,l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，________⇒l⊥α图形 语言,2.直线和平面所成的角 有关概念,对应图形斜线,与平面α______，但不和平面α______，图中______斜足,斜线和平面的______，图中______射影,过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过______和______的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为____,直线与 平面所 成的角,定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是______；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是________取值 范围,0°≤θ≤90°3.二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的__________所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的______，②两个半平面叫做二面角的_____