专题20 折叠综合问题-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用，2022中考新题型）

专题20 折叠综合问题 【真题精选】 1.（2020·成都） 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【详解】（1）∵矩形，∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，∴，∴ ∴ （2）由题意可得，， ∴∴∴，∴，∴， 由勾股定理得，∴，∴； （3） 过点作于点．∴，又∵∴． ∴．∵，即，∴， 又∵BM平分，，∴NG=AN，∴， ∴，整理得：． 2．（2021·达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【现察与猜想】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　； （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值； ②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度． 【解答】解:(1)如图1,设DE与CF交于点G, ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD， ∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED， 在△AED和△DFC中， ，∴△AED≌△DFC(AAS)， ∴DE＝CF,∴＝1； (2)如图2,设DB与CE交于点G, ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°， ∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°， ∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°,∴∠ECD＝∠ADB， ∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴，故答案为：． (3)证明:如图3,过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, ∵CG⊥EG,∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°, ∴四边形ABCH为矩形, ∴AB＝CH,∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°, ∴∠CFH＝∠DFG＝∠ADE,∠A＝∠H＝90°, ∴△DEA∽△CFH,∴,∴,∴DE•AB＝CF•AD； (4)①如图4,过点C作CG⊥AD于点G,连接AC交BD于点H,CG与DE相交于点O, ∵CF⊥DE,∠BAD＝90°,∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°, ∴∠FCG＝∠ADE,∠BAD＝∠CFG＝90°,∴△DEA∽△CGF,∴, 在Rt△ABD中,tan∠ADB＝,AD＝9,∴AB＝3, 在Rt△ADH中,tan∠ADH＝,∴，设AH＝a,则DH＝3a, ∵AH2+DH2＝AD2,∴a2+(3a)2＝92,∴a＝(负值舍去),∴AH＝,DH＝, ∴AC＝2AH＝, ∵S△ADC＝AD•CG,∴×9CG,∴CG＝,∴； ②∵AC＝,CG＝,∠AGC＝90°, ∴AG＝＝＝, ∵CF⊥DE,CG⊥AD, ∴∠EOC+∠FCG＝∠DOG+∠EDA＝90°, ∵∠EOC＝∠DOG,∴∠FCG＝∠EDA, 又∵∠EAD＝∠CGF＝90°,∴△CFG∽△DEA,∴, 又∵,AE＝1,∴FG＝,∴AF＝AG﹣FG＝＝, ∴BF＝＝＝． 【例题讲解】 例1．（求值类型）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N． ①若BE＝1，求CN的长； ②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长； （2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值． 【解析】（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC， ∴△ABE∽△ECF，∴，即：，解得：CN； ②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：则四边形ABEF是矩形， ∴AB＝EF＝2，AF＝BE， 由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，∴∠NC′D+∠EC′F＝90°， ∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，∴∠EC′F＝∠C′ND， ∵∠D＝∠EFC′，∴△EC