专题19 二次函数应用之设计方案问题-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用，2022中考新题型）

专题19 二次函数之设计方案问题 【真题精选】 1．（2021·成都）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． （1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【解答】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：12（x+7）+10x＝920，解得：x＝38， 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨； （2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨）， 《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，解得y≥， ∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3， 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 2．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【解析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得， 答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元； （2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）， ∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216， 故本次购买至少准备216元，最多准备265元． 3．（2019•绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元． （1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ （2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？ 【解析】设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元， 根据题意，得：，解得， 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲， 根据题意有：m＝（20﹣2a）（200+20a﹣80）＝﹣40a2+160a+2400＝﹣40（a﹣2）2+2560， ∵﹣40＜0，∴当a＝2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20＝240元． 答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元． 4．（2019•南充）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？ （2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元， 根据题意得，，解得：， 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元； （2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b只，支付钢笔和笔记本的总金