专题17 几何图形之最值问题-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题16 几何图形之最值问题 【真题精选】 1．（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为　32　． 【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF． ∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OMAD＝2， ∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°， ∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2， ∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝32， ∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为32． 2．（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　． 【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，∴AD，∴MN的最小值为；故答案为：． 3．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　2　． 【解析】解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴ABOA＝8，∴OP4， ∴PQ2．故答案为2． 4．（2017•德阳）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为　4　． 【解析】解：如图，连接OP，PC，OC， ∵OP+PC≥OC，OC＝5，PC＝3，∴当点O，P，C三点共线时，OP最短， 如图，∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP， 当O，P，C三点共线时，∵OC＝5，CP＝3，∴OP＝5﹣3＝2， ∴AB＝2OP＝4，故答案为：4． 【例题讲解】 例1．（平移变换求最值）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　　． 【解析】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°， ∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EHAD，∴DE＝1，∴DE＝CD， ∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2CD．答案为：． 例2．（翻折变换求最值）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片； 第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处； 第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）． 则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　　． 【解析】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，∴AE＝DF＝PM，∠EAB＝∠FDC＝∠MPQ， ∵△ADE≌△BCG≌△PNR， ∴AE＝BG＝PN，∠DAE＝∠CBG＝∠RPN，∴PM＝PN， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB＝